树，二叉树的基本概念介绍，二叉树的性质

发布于：2024-05-01 ⋅ 阅读:(27) ⋅ 点赞:(0)

目录

树

树的定义

 树的相关概念

树的存储结构 

树在实际中的运用（表示文件系统的目录树结构 ）

二叉树 

二叉树的定义

现实中的二叉树

二叉树的特点

特殊的二叉树

1.斜树

2.满二叉树

3.完全二叉树

二叉树的性质

性质1：二叉树的第i层至多有个

性质2：深度为k的二叉树至多有个结点（k≥1）。

性质3：对任何一棵二叉树T，如果其终端结点数为n0，度为2的结点数为n2，则n0=n2+1。

性质4：具有n个结点的完全二叉树的深度为（[x]表示不大于x的最大整数）。

性质5：如果对一棵有n个结点的完全二叉树（其深度为）的结点按层序编号（从第1层到第层，每层从左到右），对任一结点i（1≤i≤n）有：

练习题

树

树的定义

树是一种非线性的数据结构，它是由n（n>=0）个有限结点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做树是因 为它看起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的。

  1. 有一个特殊的结点，称为根结点，根节点没有前驱结点
  2. 除根节点外，其余结点被分成M(M>0)个互不相交的集合T1、T2、……、Tm，其中每一个集合Ti(1<= i <= m)又是一棵结构与树类似的子树。每棵子树的根结点有且只有一个前驱，可以有0个或多个后继
  3. 因此，树是递归定义的。

下面这个结构就是一个树的例子 

注意：树形结构中，子树之间不能有交集，否则就不是树形结构 

 树的相关概念

节点的度：一个节点含有的子树的个数称为该节点的度； 如上图：A的为6

叶节点或终端节点：度为0的节点称为叶节点； 如上图：B、C、H、I...等节点为叶节点

非终端节点或分支节点：度不为0的节点； 如上图：D、E、F、G...等节点为分支节点

双亲节点或父节点：若一个节点含有子节点，则这个节点称为其子节点的父节点； 如上图：A是B的父节点

孩子节点或子节点：一个节点含有的子树的根节点称为该节点的子节点； 如上图：B是A的孩子节点

兄弟节点：具有相同父节点的节点互称为兄弟节点； 如上图：B、C是兄弟节点

树的度：一棵树中，最大的节点的度称为树的度； 如上图：树的度为6

节点的层次：从根开始定义起，根为第1层，根的子节点为第2层，以此类推；

树的高度或深度：树中节点的最大层次； 如上图：树的高度为4

堂兄弟节点：双亲在同一层的节点互为堂兄弟；如上图：H、I互为堂兄弟节点

节点的祖先：从根到该节点所经分支上的所有节点；如上图：A是所有节点的祖先

子孙：以某节点为根的子树中任一节点都称为该节点的子孙。如上图：所有节点都是A的子孙

森林：由m（m>0）棵互不相交的树的集合称为森林； 

我们可以再理解一下

树的存储结构 

树结构相对于线性表就比较复杂了，要存储和表示起来就比较麻烦了，实际中树有很多种表示方法。如：双亲表示法、孩子表示法、孩子兄弟表示法等等。其中最常用的是孩子兄弟表示法。

孩子兄弟表示法中，所定义的结点类型大致是这样的：

typedef int DataType;

struct Node
{
    struct Node* firstChild;   //第一个孩子结点
    struct Node* nextBrother;  //指向下一个兄弟结点
    DataType data;             //结点中的数据域
};

对于任意树，我们都可以用孩子兄弟法访问到树中的每一个结点： 

树在实际中的运用（表示文件系统的目录树结构 ）

二叉树 

二叉树的定义

二叉树是一种特殊的树形数据结构，它的每个节点最多有两个子节点，通常被称为左子节点和右子节点。每个节点除了包含数据元素外，还包含两个链接，分别指向它的左子节点和右子节点。如果某个节点没有子节点或只有一个子节点，那么相应的链接可以为空。

从上图可以看出：

  1. 二叉树不存在度大于2的结点
  2. 二叉树的子树有左右之分，次序不能颠倒，因此二叉树是有序树

注意：对于任意的二叉树都是由以下几种情况复合而成的：

现实中的二叉树

二叉树的特点

二叉树的特点有：

  1. 每个结点最多有两棵子树，所以二叉树中不存在度大于2的结点。注意不是只有两棵子树，而是最多有。没有子树或者有一棵子树都是可以的。
  2. 左子树和右子树是有顺序的，次序不能任意颠倒。就像人有双手、双脚，但显然左手、左脚和右手、右脚是不一样的，右手戴左手套、右脚穿左鞋都会极其别扭和难受。
  3. 即使树中某结点只有一棵子树，也要区分它是左子树还是右子树。下图中，树1和树2是同一棵树，但它们却是不同的二叉树。就好像你一不小心，摔伤了手，伤的是左手还是右手，对你的生活影响度是完全不同的。

二叉树具有以下五种基本形态：

  1. 空二叉树。
  2. 只有一个根结点。
  3. 根结点只有左子树。
  4. 根结点只有右子树。
  5. 根结点既有左子树又有右子树。

应该说这五种形态还是比较好理解的，那我现在问大家，如果是有三个结点的树,有几种形态？如果是有三个结点的二叉树，考虑一下，又有几种形态?

若只从形态上考虑，三个结点的树只有两种情况，那就是下图中有两层的树1和有三层的后四种的任意一种，但对于二叉树来说，由于要区分左右，所以就演变成五种形态，树2、树3、树4和树5分别代表不同的二叉树。

特殊的二叉树

我们再来介绍一些特殊的二叉树。这些树可能暂时你不能理解它有什么用处，但先了解一下，以后会提到它们的实际用途。

1.斜树

顾名思义，斜树一定要是斜的，但是往哪斜还是有讲究的。所有的结点都只有左子树的二叉树叫左斜树。所有结点都只有右子树的二叉树叫右斜树。这两者统称为斜树。上图中的树2就是左斜树，树5就是右斜树。斜树有很明显的特点，就是每一层都只有一个结点，结点的个数与二叉树的深度相同。

有人会想，这也能叫树呀，与我们的线性表结构不是一样吗。对的，其实线性表结构就可以理解为是树的一种极其特殊的表现形式。

2.满二叉树

苏东坡曾有词云：“人有悲欢离合，月有阴晴圆缺，此事古难全”。意思就是完美是理想，不完美才是人生。我们通常举的例子也都是左高右低、参差不齐的二叉树。那是否存在完美的二叉树呢？
嗯，有同学已经在空中用手指比划起来。对的，完美的二叉树是存在的。

在一棵二叉树中，如果所有分支结点都存在左子树和右子树，并且所有叶子都在同一层上，这样的二叉树称为满二叉树。

下图就是一棵满二叉树，从样子上看就感觉它很完美。

单是每个结点都存在左右子树，不能算是满二叉树，还必须要所有的叶子都在同一层上，这就做到了整棵树的平衡。因此，满二叉树的特点有：
（1）叶子只能出现在最下一层。出现在其他层就不可能达到平衡。
（2）非叶子结点的度一定是2。否则就是“缺胳膊少腿”了。
（3）在同样深度的二叉树中，满二叉树的结点个数最多，叶子数最多。

3.完全二叉树

完全二叉树（Complete Binary Tree）是一种特殊的二叉树。对于深度为K的，有n个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为K的满二叉树中编号从1至n的结点一一对应时称之为完全二叉树。

满二叉树一定是一棵完全二叉树，但一棵完全二叉树不一定是满二叉树

完全二叉树的特点是：

（1）叶子结点只能出现在最下两层。
（2）最下层的叶子一定集中在左部连续位置。
  (3）倒数第二层，若有叶子结点，一定都在右部连续位置。
（4）如果结点度为1，则该结点只有左孩子，即不存在只有右子树的情况。
（5）同样结点数的二叉树，完全二叉树的深度最小。

简单的来说就是：若树的深度为K，那么它的前K-1层的结点数必须是满的，第K层的结点数可以不是满的，但从左到右必须是连续的 

像下面这个就不是完全二叉树 

因为第K层的结点从左到右 不连续

二叉树的性质

性质1：二叉树的第i层至多有2^{i-1}个

这个很容易理解

第一层是根结点，只有一个，所以2^{1-1}=2^{0}=1
第二层有两个，2^{2-1}=2^{1}=2
第三层有四个，2^{3-1}=2^{2}=4
通过数学归纳法的论证，可以很容易得出在二叉树的第i层上至多有2^{i-1}个结点（i≥1）的结论。

性质2：深度为k的二叉树至多有2^{k}-1个结点（k≥1）。

注意这里一定要看清楚，是2^{k}后再减去1，而不是2^{1-1}=2^{0}=1。以前很多同学不能完全理解，这样去记忆，就容易把性质2与性质1给弄混淆了。

深度为k意思就是有k层的二叉树，我们先来看看简单的。
如果有一层，至多1=2^{1}-1个结点。
如果有二层，至多1+2=2^{2}-1个结点。
如果有三层，至多1+2+4=2^{3}-1个结点。
通过数学归纳法的论证，可以得出，如果有k层，此二叉树至多有2^{3}-1个结点。

性质3：对任何一棵二叉树T，如果其终端结点数为n0，度为2的结点数为n2，则n0=n2+1。

终端结点数其实就是叶子结点数，而一棵二叉树，除了叶子结点外，剩下的就是度为1或2的结点数了，我们设n，为度是1的结点数。则树T结点总数n=n0+n1+n2。

比如下图的例子，结点总数为7，它是由A、B、C等度为2结点，D,E,F,G等度为0的叶子结点组成。总和为2+1+4=7。

我们换个角度，再数一数它的连接线数，由于根结点只有分支出去，没有分支进入，所以分支线总数为结点总数减去1。上图就是6个分支。对于A，B、C结点来说它们都有两个分支线出去，而E结点只有一个分支线出去。所以总分支线为3x2+1x1=7。

用代数表达就是分支线总数=n-1=n1+2n2。因为刚才我们有等式n=n0+n1+n2，所以可推导出n0+n1+n2  -1=n1+2 n2。结论就是n0=n2+1。

性质4：具有n个结点的完全二叉树的深度为[log_{2}^{}n]+1（[x]表示不大于x的最大整数）。

由满二叉树的定义我们可以知道，深度为k的满二叉树的结点数n一定是2^{k}-1。因为这是最多的结点个数。那么对于n=2^{k}-1倒推得到满二叉树的深度为k=log_{2}(n+1)，比如结点数为15的满二叉树，深度为4。

完全二叉树我们前面已经提到，它是一棵具有n个结点的二叉树，若按层序编号后其编号与同样深度的满二叉树中编号结点在二叉树中位置完全相同，那它就是完全二叉树。也就是说，它的叶子结点只会出现在最下面的两层。

它的结点数一定小于等于同样深度的满二叉树的结点数2^{k}-1，但一定多于2^{k-1}-1。即满足2^{k-1}-1<n\leqslant 2^{k}-1。由于结点数n是整数，n\leq 2^{k}-1意味着n<2^{k}，n>2^{k-1}-1，意味着n\geq 2^{k-1}，所以2^{k-1}\leq n<2^{k}，不等式两边取对数，得到k-1\leq log_{2}^{}n\leq k，而k作为深度也是整数，因此k=[log_{2}^{}n]+1。

性质5：如果对一棵有n个结点的完全二叉树（其深度为[log_{2}^{}n]+1）的结点按层序编号（从第1层到第[log_{2}^{}n]+1层，每层从左到右），对任一结点i（1≤i≤n）有：
  1. 如果i=1，则结点/是二叉树的根，无双亲；如果/>1，则其双亲是结点[i/2]。
  2. 如果2i>n，则结点/无左孩子（结点/为叶子结点）；否则其左孩子是结点2i。
  3. 如果2i+1>n，则结点/无右孩子；否则其右孩子是结点2i+1。

我们以下图为例，来理解这个性质。这是一个完全二叉树，深度为4，结点总数是10。

对于第一条来说是很显然的，i=1时就是根结点。i>1时，比如结点7，它的双亲就是[7/2]=3，结点9，它的双亲就是[9/2]=4。

第二条，比如结点6，因为2×6=12超过了结点总数10，所以结点6无左孩子，它是叶子结点。同样，而结点5，因为2×5=10正好是结点总数10，所以它的左孩子是结点10。

第三条，比如结点5，因为2×5+1=11，大于结点总数10，所以它无右孩子。而结点3，因为2×3+1=7小于10，所以它的右孩子是结点7。 

练习题

我特地为大家留了几道练习题，帮大家巩固一下

4.一棵完全二叉树的节点数位为531个，那么这棵树的高度为（ ）

A 11

B 10

C 8

D 12

5.一个具有767个节点的完全二叉树，其叶子节点个数为（）

A 383

B 384

C 385

D 386

1-5答案是BAABB

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