概率论-泊松分布详解（狗都能看懂）-易微帮

24年再看一年前写的文章。

概率论-泊松分布详解（狗都能看懂） (qq.com)https://mp.weixin.qq.com/s?__biz=MzkwMTQyMTU0OA==&mid=2247483842&idx=1&sn=8785a5fd1e4d73228e04fe0a17840aa3&chksm=c0b44141f7c3c8571ef8e8c5b1dc24b632389710a2c9ebdc63236db9ffe1aa00fb40b7a0dfb9&token=667671903&lang=zh_CN#rd23年暑假自学概率论泊松公式的时候，有很多地方没懂，便自己研究了一下。在公众号上收获的阅读量很多，也受到很多朋友的留言和提问。因此想在CSDN上也发表一下。

很多地方感觉也没有讲的很清楚（或者有可能讲错），因此如果有朋友能留言评论区一起探讨，十分感激赐教。

以下是原文。

上图黑板上右边第六题，我自学的时候感觉这一段有难度而且比较重要，又看到很多同学在弹幕留言说根本看不懂，所以简单写下。

（废话段）先从基本概念讲起，很多同学包括我以前，都会急于去看这题到底怎么做的出来，因为脑海中已经有个模糊的框架了，感觉就差那么一丢丢，前面的概念基础啥的都已经会了，只要能看到那一小步怎么弄就行了。其实不然，对于数学这种逻辑性的课程，卡住了就意味这基本概念不清晰，或者没有理解概念的意义（这一点很重要，要真正理解数学概念的意义很难，但并不意味着意义不重要，相反意义是最重要的。作为学生只能不断接近意义）。对我自己来说，最近学习的时候，我会花大量的时间去思考和搜索这些数学公式的意义，去理解。下面我先说说二项分布和泊松分布的意义。

二项分布公式。

24年添加的latex公式：

$\lim_{n\to\infty}\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}$

简单说说很好懂。

先不要管那个lim极限，这是争对于n趋向于∞才要加上的。

后面有一个括号，括号里上面一个n下面一个k，那玩意就是Cnk，从n个里取出k个数有多少种取法。这个写法不同而已。

那这个东西的具体意义是什么。我扔100次硬币，100次里正朝上有30次的概率是多少？好！正常人都会问：为什么是30次不是50次，正常情况不都是差不多50次吗。注意这里的30的意义，是指已经出来的结果就是30，而不是说由概率1/2×100 。换句话说，我每扔100次作为一组，每组的情况都不一样，这些组里，正朝上出现30次这种结果的组，出现的可能性是多少？（下面一段会细说）好，出现30次正上的结果，首先从100次里面选30次，其次这30次是正上，正上的概率设为p（虽然大家都知道是1/2），30次都是正上了就要把每次的正上概率都乘起来。所以是p的30次方。接下来的是反上，反上概率1-p，共有70次反上，所以（1-p）的70次方。再看这个公式就比较好懂了。

二项分布和伯努利模型很像。网上说这两玩意不一样，讲的也有点乱。看到知乎一个很棒的答案（忘记答主叫啥了简称花生哥）：

伯努利分布：一堆花生，只有剥了和没剥的，随便拿一个吃了，花生已经剥好了的概率是a，那拿到没剥的带壳的花生概率就是1-a。

二项分布：很饿拿了很多花生吃，但是闲的蛋疼每次拿一个花生都记录一下花生剥了还是没剥。一共吃了N个，最后统计了N个花生整体的分布情况：（N+1种结果）

剥了出现0次，没剥出现N次；
剥了出现1次，没剥出现N-1次；
剥了出现2次，没剥出现N-2次；
剥了出现3次，没剥出现N-3次；

……N+1. 剥了出现N次，没剥出现0次。

这N+1种结果，每种结果出现的概率，就是二项分布。其实我觉得伯努利和二项分布没啥区别，反正区别这两玩意没啥用。

那其次泊松分布就是二项分布的一种特别形式，当n很大，p很小，期望值np小于10的时候，二项分布的形式可以改写为泊松分布，其目的就是让运算更简便。（稍后会证明结果真的差不多，虽然公式很逆天，即使逆天也是逆天极限公式实打实算出来的公式）

ok先简单的看看这两公式长什么样以及推到过程。（我不会打字数学符号，直接截屏了）

24年添加的公式：

$有了p=\frac\mu n了之后，就有：\\ \lim\limits_{n\to\infty}\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}=\lim\limits_{n\to\infty}\binom{n}{k}\Big(\frac{\mu}{n}\Big)^k(1-\frac{\mu}{n})^{n-k}\\ 我们来算一下这个极限：\\ \begin{aligned}\lim_{n\to\infty}\binom{n}{k}\Big(\frac{\mu}{n}\Big)^{k}(1-\frac{\mu}{n})^{n-k}&=\lim_{n\to\infty}\frac{n(n-1)(n-2)\cdots(n-k+1)}{k!}\frac{\mu^{k}}{n^{k}}\Big(1-\frac{\mu}{n}\Big)^{n-k}\\&=\lim_{n\to\infty}\frac{\mu^{k}}{k!}\frac{n}{n}\cdot\frac{n-1}{n}\cdots\frac{n-k+1}{n}\Big(1-\frac{\mu}{n}\Big)^{-k}\Big(1-\frac{\mu}{n}\Big)^{n}\end{aligned}\\ 其中：\\ \lim_{n\to\infty}\frac{n}{n}\cdot\frac{n-1}{n}\cdots\frac{n-k+1}{n}\Big(1-\frac{\mu}{n}\Big)^{-k}=1\\ \lim_{n\to\infty}\left(1-\frac{\mu}{n}\right)^n=e^{-\mu}\\ 所以：\\ \lim\limits_{n\to\infty}\binom{n}{k}\Big(\frac{\mu}{n}\Big)^k(1-\frac{\mu}{n})^{n-k}=\frac{\mu^k}{k!}e^{-\mu}\\ 上面就是泊松分布的概率密度函数，也就是说，在T时间内卖出k个馒头的概率为：\\ P(X=k)=\frac{\mu^k}{k!}e^{-\mu}$