2024icpc武汉站邀请赛F.Custom-Made Clothes（交互题）

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题意

本题是一道交互题。

给出一个$n\times n$的矩阵，$a_{i-1,j}\le a_{i,j},a_{i,j-1}\le g_{i,j}，(1\le a_{i,j}\le n^2)$，$1\le n\le 1000$。

题目首先给出$n,k$，求矩阵中第k大的值，提供不超过$50000$次查询。

题目有两种输出：

• ? i j x：表示查询$a_{i,j}\le x$。返回$0$或$1$。
• ! x：表示输出结果，即$x$为第$k$大的值。

思路

通过观察发现，矩阵每行和每列都具有单调性，并且答案具有单调性。

• 因此我们可以二分答案，然后计算出当前答案为第几大的值。

• 在计算当前答案为第几大时，直接计算显然会超过交互次数，因此我们根据每行每列的单调性来计算。

• 对于二分过程中的$mid$，如果第$i$行第$j$列后面都大于$mid$，那么第$i+\mathrm{1...}n$行第j列后都会大于$mid$。

• 优化后减少至少一半询问，则不会超过查询次数。

标程

bool query(int x, int y, int v) {
    cout << "? " << x << ' ' << y << ' ' << v << endl;
    fflush(stdout);

    int t; cin >> t;
    return t;
}

void Solved() { 
    int n, k; cin >> n >> k;

    k = n * n - k + 1;
    int l = 1, r = n * n, mid, res = 1;
    while(l <= r) {
        mid = l + r >> 1;
        int now = n, tmp = 0;
        for(int i = 1; i <= n; i ++ ) {
            while(now >= 1 && query(i, now, mid) == 0) now --;
            tmp += now;
            if(tmp >= k) break;
        }
        if(tmp >= k) r = mid - 1, res = mid;
        else l = mid + 1;
    }
    
    cout << "! " << res << endl;
}