【C语言视角】数据结构之~二叉树

发布于：2024-05-02 ⋅ 阅读:(30) ⋅ 点赞:(0)

前言：总所周知~数据结构的二叉树对于初学者来说是一个十分难理解的知识点。接下来，请阅读本人对二叉树拙劣的理解~

1.二叉树概念及结构 和性质   

1.1二叉树的概念

      

二叉树(Binary Tree)：是n(n≥0)个结点的有限集合，该集合或者为空集(称为空二叉树)，或者由一个根结点和两颗互不相交的、分别称为根结点的左子树和右子树的二叉树组成。

总而言之 满足以下两个条件的树就是二叉树：

        1、本身是有序树；
        2、树中包含的各个结点的度不能超过 2，即只能是 0、1 或者 2；

1.2二叉树的结构 

由上图可得：

1. 二叉树不存在度大于2的结点
2. 二叉树的子树有左右之分，次序不能颠倒，因此二叉树是有序树
注意：对于任意的二叉树都是由以下几种情况复合而成的：
1.3二叉树的性质

1：在二叉树的第i层上最多有2^(i-1)个结点（i≥1）。
第一层是根结点，只有一个，所以2(1-1）=20=1。 第二层有两个，2(2-1)=21=2。 第三层有四个，2(3-1)=22=4。 第四层有八个，2(4-1)=2^3=8。

2：深度为k的二叉树至多有2^k-1个结点（k≥1）。
注意这里一定要看清楚，是2k后再减去1，而不是2(k-1)。以前很多同学不能完全理解，这样去记忆，就容易把性质2与性质1给弄混淆了。 深度为k意思就是有k层的二叉树，我们先来看看简单的。 如果有一层，至多1=21-1个结点。 如果有二层，至多1+2=3=22-1个结点。 如果有三层，至多1+2+4=7=23-1个结点。 如果有四层，至多1+2+4+8=15=2^4-1个结点。

3：对任何一棵二叉树，如果其终端结点数为n0，度为2的结点数为n2，则n0=n2+1。
终端结点数其实就是叶子结点数，而一棵二叉树，除了叶子结点外，剩下的就是度为1或2的结点数了，我们设n1为度是1的结点数。则树T结点总数n=n0+n1+n2
终端结点数其实就是叶子结点数，而一棵二叉树，除了叶子结点外，剩下的就是度为1或2的结点数了，我们设n1为度是1的结点数。则树T结点总数n=n0+n1+n2 。

4：具有n个结点的完全二叉树的深度为|log（2^n）+1|  (向下取整)。
由满二叉树的定义我们可以知道，深度为k的满二叉树的结点数n一定是2k-1。因为这是最多的结点个数。那么对于n=2k-1倒推得到满二叉树的深度为k=log2(n＋1)，比如结点数为15的满二叉树，深度为4。

5：如果对一棵有n个结点的完全二叉树（其深度为|log（2^n）+1|）的结点按层序编号（从第一层到第层，每层从左到右），对任一结点i（1<=i<=n），有
1．如果i=1，则结点i是二叉树的根，无双亲；如果i>1，则其双亲是结点。
2．如果2i>n，则结点i无左孩子（结点i为叶子结点）；否则其左孩子是结点2i。
3．如果2i+1>n，则结点i无右孩子；否则其右孩子是结点2i+1

二叉树的存储结构
二叉树一般可以使用两种结构存储，一种顺序结构，一种链式结构。
1. 顺序存储
        顺序结构存储就是使用数组来存储，一般使用数组只适合表示完全二叉树，因为不是完全二叉树会有空 间的浪费。而现实中使用中只有堆才会使用数组来存储，关于堆我们后面的章节会专门讲解。二叉树顺 序存储在物理上是一个数组，在逻辑上是一颗二叉树。
2. 链式存储
        二叉树的链式存储结构是指，用链表来表示一棵二叉树，即用链来指示元素的逻辑关系。 通常的方法是 链表中每个结点由三个域组成，数据域和左右指针域，左右指针分别用来给出该结点左孩子和右孩子所 在的链结点的存储地址 。链式结构又分为二叉链和三叉链，当前我们学习中一般都是二叉链，后面课程 学到高阶数据结构如红黑树等会用到三叉链。

2.二叉树顺序结构

        普通的二叉树是不适合用数组来存储的，因为可能会存在大量的空间浪费。而完全二叉树更适合使用顺序结 构存储。现实中我们通常把堆( 一种二叉树 ) 使用顺序结构的 数组 来存储，需要注意的是这里的堆和操作系统 虚拟进程地址空间中的堆是两回事，一个是数据结构，一个是操作系统中管理内存的一块区域分段。

3.二叉树链式结构的实现

从概念出发，二叉树是：
1. 空树
2. 非空：根节点，根节点的左子树、根节点的右子树组成的。

从概念中可以看出，二叉树定义是递归式的，因此后序基本操作中基本都是按照该概念实现的。

二叉树的遍历

二叉树遍历分有三种遍历，分别是前序、中序以及后序遍历
        所谓二叉树遍历(Traversal)是按照某种特定的规则，依次对二叉 树中的节点进行相应的操作，并且每个节点只操作一次。访问结点所做的操作依赖于具体的应用问题。 遍历 是二叉树上最重要的运算之一，也是二叉树上进行其它运算的基础。

按照规则，二叉树的遍历有：前序/中序/后序的递归结构遍历：
1. 前序遍历(Preorder Traversal 亦称先序遍历)——访问根结点的操作发生在遍历其左右子树之前。
2. 中序遍历(Inorder Traversal)——访问根结点的操作发生在遍历其左右子树之中（间）。
3. 后序遍历(Postorder Traversal)——访问根结点的操作发生在遍历其左右子树之后。
由于被访问的结点必是某子树的根，所以N(Node）、L(Left subtree）和R(Right subtree）又可解释为 根、根的左子树和根的右子树。NLR、LNR和LRN分别又称为先根遍历、中根遍历和后根遍历。 
// 二叉树前序遍历
void PreOrder(BTNode* root);
// 二叉树中序遍历
void InOrder(BTNode* root);
// 二叉树后序遍历
void PostOrder(BTNode* root);

我们从图片分析二叉树是如何进行前序遍历的~

前序遍历的代码如下：

//前序遍历
void PreOrderTraverse(BTree T){
	if(T == NULL)
		return;
	printf("%d",T->data);
	PreOrderTraverse(T->LChild);
	PreOrderTraverse(T->RChild);
}

 中序/后序遍历跟前序遍历差不多，差异点就在如何显示根的位置~

二叉树层序遍历

层序遍历：除了先序遍历、中序遍历、后序遍历外，还可以对二叉树进行层序遍历。设二叉树的根节点所在层数为1，层序遍历就是从所在二叉树的根节点出发，首先访问第一层的树根节点，然后从左到右访问第2层上的节点，接着是第三层的节点，以此类推，自上而下，自左至右逐层访问树的结点的过程就是层序遍历。

以下有几道题目可供大家进一步理解哦~
练习 ：请写出下面的前序 / 中序 / 后序 / 层序遍历

1. 某完全二叉树按层次输出（同一层从左到右）的序列为 ABCDEFGH 。该完全二叉树的前序序列为（）
A ABDHECFG
B ABCDEFGH
C HDBEAFCG
D HDEBFGCA
2. 二叉树的先序遍历和中序遍历如下：先序遍历： EFHIGJK; 中序遍历： HFIEJKG. 则二叉树根结点为（）
A E
B F
C G
D H
3. 设一课二叉树的中序遍历序列： badce ，后序遍历序列： bdeca ，则二叉树前序遍历序列为 ____ 。
A adbce
B decab
C debac
D abcde
4. 某二叉树的后序遍历序列与中序遍历序列相同，均为 ABCDEF ，则按层次输出（同一层从左到右）的序列
为
A FEDCBA
B CBAFED
C DEFCBA
D ABCDE

答案： 1.A  2.A  3.D  4.A

以上就是鄙人对二叉树的小小拙见~，接下来让我们继续努力，共同进步~一起成为编程高手！！

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