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5.不同路径
5.1题目
一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角 （起始点在下图中标记为 “Start” ）。
机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角（在下图中标记为 “Finish” ）。
问总共有多少条不同的路径？
- 示例一：
输入：m = 3, n = 7
输出：28
- 示例二：
输入：m = 3, n = 2
输出：3
解释：
从左上角开始，总共有 3 条路径可以到达右下角。
1. 向右 -> 向下 -> 向下
2. 向下 -> 向下 -> 向右
3. 向下 -> 向右 -> 向下
5.2解法一：深度搜索
5.2.1深度搜索思路
5.2.2代码实现
- 最终通过 （38/63个测试用例）
public int uniquePaths(int m, int n) {
return dfs(1,1,m,n);
}
private int dfs(int i,int j,int m,int n){
//1、超过边界
if(i>m||j>n){
return 0;
}
//2、终点
if(i==m&&j==n){
return 1;
}
//3、遍历
return dfs(i+1,j,m,n)+dfs(i,j+1,m,n);
}
5.3解法二：动规
5.3.1动规思路
5.3.2代码实现
public int uniquePaths(int m, int n) {
int[][] dp=new int[m][n];
//3、初始化
for(int i=0;i<m;i++){
dp[i][0]=1;
}
for(int j=0;j<n;j++){
dp[0][j]=1;
}
//4、遍历顺序
for(int i=1;i<m;i++){
for(int j=1;j<n;j++){
//2、递推公式
dp[i][j]=dp[i-1][j]+dp[i][j-1];
}
}
return dp[m-1][n-1];
}
6.不同路径||
6.1题目
一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角 （起始点在下图中标记为 “Start” ）。
机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角（在下图中标记为 “Finish”）。
现在考虑网格中有障碍物。那么从左上角到右下角将会有多少条不同的路径？
网格中的障碍物和空位置分别用 1 和 0 来表示。
- 示例一：
输入：obstacleGrid = [[0,0,0],[0,1,0],[0,0,0]]
输出：2
解释：3x3 网格的正中间有一个障碍物。
从左上角到右下角一共有 2 条不同的路径：
1. 向右 -> 向右 -> 向下 -> 向下
2. 向下 -> 向下 -> 向右 -> 向右
- 示例二：
输入：obstacleGrid = [[0,1],[0,0]]
输出：1
6.2解法：动规
6.2.1动规思路
机器人从（0,0）位置开始后，到达（m-1,n-1）终点
（1）dp数组以及下标含义
dp(i)(j)：从（0,0）出发，到（i,j）有dp(i)(j)条不同路径
（2）递推公式
if(obstacleGrid[i][j]==0){
dp[i][j]=dp[i-1][j]+dp[i][j-1];
}
（3）dp数组初始化
for (int i = 0; i < m && obstacleGrid[i][0] == 0; i++)
dp[i][0] = 1;
for (int j = 0; j < n && obstacleGrid[0][j] == 0; j++)
dp[0][j] = 1;
（4）确定遍历顺序
从左到右
（5）举例推到dp数组
6.2.2代码实现
public int uniquePathsWithObstacles(int[][] obstacleGrid) {
int m=obstacleGrid.length;
int n=obstacleGrid[0].length;
int[][] dp=new int[m][n];
//3、初始化
for(int i=0;i<m && obstacleGrid[i][0]==0;i++){
dp[i][0]=1;
}
for(int j=0;j<n && obstacleGrid[0][j]==0;j++){
dp[0][j]=1;
}
//4、遍历顺序
for(int i=1;i<m;i++){
for(int j=1;j<n;j++){
//2、递推公式
if(obstacleGrid[i][j]==0){
dp[i][j]=dp[i-1][j]+dp[i][j-1];
}
}
}
return dp[m-1][n-1];
}
7.整数拆分
7.1题目
给定一个正整数 n ，将其拆分为 k 个 正整数 的和（ k >= 2 ），并使这些整数的乘积最大化。
返回 你可以获得的最大乘积 。
- 示例一：
输入: n = 2
输出: 1
解释: 2 = 1 + 1, 1 × 1 = 1。
- 示例二：
输入: n = 2
输出: 1
解释: 2 = 1 + 1, 1 × 1 = 1。
7.2解法：动规
7.2.1动规思路
7.2.2代码实现
public int integerBreak(int n) {
int[] dp=new int[n+1];
dp[2]=1;
for(int i=3;i<=n;i++){
//j从1开始遍历
for(int j=1;j<i;j++){
dp[i]=Math.max(dp[i],Math.max(j*(i-j),j*dp[i-j]));
}
}
return dp[n];
}
8.不同的二叉搜索树
8.1题目
给你一个整数 n ，求恰由 n 个节点组成且节点值从 1 到 n 互不相同的 二叉搜索树 有多少种？返回满足题意的二叉搜索树的种数。
- 示例一：
输入：n = 3
输出：5
- 示例二：
输入：n = 1
输出：1
8.2解法：动规
8.2.1动规思路
8.2.2代码实现
public int numTrees(int n) {
int[] dp=new int[n+1];
dp[0]=1;
for(int i=1;i<=n;i++){
for(int j=0;j<i;j++){
dp[i]+=(dp[j]*dp[i-j-1]);
}
}
return dp[n];
}
