Great Reality
Ints are not Integers, Floats are not Reals
对于 (x + y) + z = x + (y + z),无符号整形和有符号整形是成立的。
但是对于浮点数, (1e20 + -1e20) + 3.14 -> 3.14,而 1.e20 + (-1e20 + 3.14) = 0
typedef struct {
int a[2];
double d;
}struct_t;
double fun(int i) {
volatile struct_t s;
s.d = 3.14;
s.a[i] = 1073741824; /* Possibly out of bounds */
return s.d;
}
我们发现,当 i = 5 时,程序会崩溃。
Explanation:
C 语言不会在运行中做任何边界检查
对于下图,垂直链的每个块代表 4 字节。a 数组的两个元素都是 4 字节,d 是 8 个字节
当 i 大于 1 时,赋值 a[2] 会赋值给 d3 … d0,赋值 a[3] 会赋值给 d4 … d7,所以 i = 4 的时候正常,后面报不报错看栈的空间等。
Memory System Performance Example
下面有两端函数。
void copyij(int src[2048][2048], int dst[2048][2048])
{
int i, j;
for(int i = 0; i < 2048; i ++)
for(int j = 0; j < 2048; j ++)
dst[i][j] = src[i][j];
}
void copyji(int src[2048][2048], int dst[2048][2048])
{
int i, j;
for(int j = 0; j < 2048; j ++)
for(int i = 0; i < 2048; i ++)
dst[i][j] = src[i][j];
}
可以看出它们的区别在于一个行优先,一个列优先。而第一段代码运行速度远远快于第二段代码。以行优先代码的运行速度快于一列一列运行。
Everything is bits
整数、浮点数等都可以表示为二进制。
Data Representations
C Data Type | Typical 32-bit | Typical 64-bit | x86-64 |
---|---|---|---|
char | 1 | 1 | 1 |
short | 2 | 2 | 2 |
int | 4 | 4 | 4 |
long | 4 | 8 | 8 |
float | 4 | 4 | 4 |
double | 8 | 8 | 8 |
long double | - | - | 10/16 |
pointer | 4 | 8 | 8 |
Boolean Algebra
And: A & B = 1 when both A = 1 and B = 1
Or: A | B = 1 when either A = 1 or B = 1
Not: ~A = 1 when A = 0
Exclusive-Or(Xor): A^B = 1 when either A = 1 or B = 1, but not both 相同为 0,相异为 1
Representing & Manipulating
Representation
Width w bit vector represents subsets of {0, …, w - 1}
a j = 1 i f j ∈ A a_j = 1~ ~if~ ~j~ ~\in A aj=1 if j ∈A
01101001 代表 {0, 3, 5, 6}
76543210
01010101 代表 {0, 2, 4, 6}
76543210
Operations
符号 | 操作 | 二进制序列 | 集合 |
---|---|---|---|
& | Intersection 交 | 01000001 | {0, 6} |
| | Union 并 | 01111101 | {0, 2 ,3, 4, 5, 6} |
^ | Symmetric difference 对称差异 | 00111100 | {2, 3, 4, 5} |
~ | Complement 补 | 10101010 | {1, 3, 5, 7} |
Bit-Level Operations in C
位运算
Examples(Char data type)
∼ 0 x 41 − > 0 x B E \sim0x41 -> 0xBE ∼0x41−>0xBE
∼ 0100000 1 2 − > 1011111 0 2 \sim01000001_2->10111110_2 ∼010000012−>101111102
∼ 0 x 00 − > 0 x F F \sim0x00 -> 0xFF ∼0x00−>0xFF
∼ 0000000 0 2 − > 1111111 1 2 \sim0000 0000_2->1111 1111_2 ∼000000002−>111111112
∼ 0 x 69 & 0 x 55 − > 0 x 41 \sim0x69~ ~\&~ ~0x55 -> 0x41 ∼0x69 & 0x55−>0x41
$\sim0110 1001_2 $ & \& & 0101010 1 2 − > 0100000 1 2 0101 0101_2->0100 0001_2 010101012−>010000012
∼ 0 x 69 ∣ 0 x 55 − > 0 x 7 D \sim0x69 ~~| ~~0x55 -> 0x7D ∼0x69 ∣ 0x55−>0x7D
∼ 0110100 1 2 \sim 01101001_2 ∼011010012 ∣ | ∣ 0101010 1 2 − > 0111110 1 2 01010101_2 -> 01111101_2 010101012−>011111012
Logic Operations in C
& & , ∣ ∣ , ! \&\&, ||, ! &&,∣∣,!
view 0 as “False”
Anythings nonzero as “True”
Always return 0 or 1
Early termination
C 语言的逻辑运算只有 2 种结果, 0x00 和 0x01
取反是按结果取反,不是按位取反!
Examples(Char data type)
! 0 x 41 − > 0 x 00 !0x41 -> 0x00 !0x41−>0x00 相当于对 true 取反,结果为 false, 为 0x00
! 0 x 00 − > 0 x 01 !0x00 -> 0x01 !0x00−>0x01
! ! 0 x 41 − > 0 x 01 !!0x41-> 0x01 !!0x41−>0x01
0 x 69 & & 0 x 55 − > 0 x 01 0x69~ ~\&\&~ ~0x55 -> 0x01 0x69 && 0x55−>0x01
0 x 69 ∣ ∣ 0 x 55 − > 0 x 01 0x69~ ~||~ ~0x55 -> 0x01 0x69 ∣∣ 0x55−>0x01
p p~~ p & & \&\& && ∗ p *p ∗p (avoids null pointer access) 在访问之前先判断是否为空指针,如果是空指针,会提前终止。
Shift Operation
Left Shift: x << y
Shift bit-vector x left y positions, Throw away extra bits on left
Fill with 0’s on right
Right Shift: x >> y
Shift bit-vector x right y position, Throw away extra bits on right
Logical Shift
Fill with 0’s on left
Arithmetic Shift
Replicate(复制) most significant bit on left
对于右移运算,分为算数右移和逻辑右移。他们的填充规则不一样。算数右移填充的是符号位的数字。
Argument x | 0110 0010 |
---|---|
<< 3 | 0001 0000 |
Log. >> 2 | 0001 1000 |
Arith. >> 2 | 0001 1000 |
Argument x | 1010 0010 |
---|---|
<< 3 | 0001 0000 |
Log. >> 2 | 0010 1000 |
Arith. >> 2 | 1110 1000 |
Undefined Behavior
Shift amount < 0 or >= word size
Numeric Ranges
Unsigned Values
U M i n = 0 − > 000...0 UMin = 0 -> 000...0 UMin=0−>000...0
U M a x = 2 w − 1 − > 111...1 UMax = 2^w - 1 -> 111...1 UMax=2w−1−>111...1
U M a x = 2 × T M a x + 1 UMax = 2 \times TMax + 1 UMax=2×TMax+1
Two’s Complement Values (补码)
T M i n = − 2 w − 1 − > 100...0 TMin = -2^{w - 1} -> 100...0 TMin=−2w−1−>100...0
T M a x = w w − 1 − 1 − > 011...1 TMax = w^{w - 1} - 1 -> 011...1 TMax=ww−1−1−>011...1
∣ T M i n ∣ = T M a x + 1 |TMin| = TMax + 1 ∣TMin∣=TMax+1
Other Values
M i n u s 1 − > 111...1 Minus~1 -> 111...1 Minus 1−>111...1
Values for W = 16
Decimal | Hex | Binary | ||
---|---|---|---|---|
UMax | 65535 | FF FF | 11111111 11111111 | |
TMax | 32767 | 7F FF | 01111111 11111111 | |
TMin | -32768 | 80 00 | 10000000 00000000 | |
-1 | -1 | FF FF | 11111111 11111111 | |
0 | 0 | 00 00 | 00000000 00000000 | |
U M a x = 2 × T M a x + 1 UMax = 2 \times TMax + 1 UMax=2×TMax+1 |
From Binary to Unsigned
B 2 U ( X ) = ∑ i = 0 w − 1 x i 2 i B2U(X) = \sum_{i = 0}^{w - 1}x_i 2^i B2U(X)=∑i=0w−1xi2i
From Binary to Two’s complement
B 2 T ( X ) = − x w − 1 2 w − 1 + ∑ i = 0 w − 2 x i 2 i B2T(X) = -x_{w - 1} 2^{w - 1} + \sum_{i = 0}^{w - 2} x_i 2^i B2T(X)=−xw−12w−1+∑i=0w−2xi2i
对于补码,最高位称为符号位,为 1 代表负数。
Unsigned & Signed Numeric Values
X | B2U(X) | B2T(X) |
---|---|---|
0000 | 0 | 0 |
0001 | 1 | 1 |
0010 | 2 | 2 |
0011 | 3 | 3 |
0100 | 4 | 4 |
0101 | 5 | 5 |
0110 | 6 | 6 |
0111 | 7 | 7 |
1000 | 8 | -8 |
1001 | 9 | -7 |
1010 | 10 | -6 |
1011 | 11 | -5 |
1100 | 12 | -4 |
1101 | 13 | -3 |
1110 | 14 | -2 |
1111 | 15 | -1 |
观察可知,负数与对应的正数关系是,正数取反加 1 |
Casting
如果有符号数和无符号数混合,有符号数会被隐式转换为无符号数。
− 1 > 0 U -1 > 0U −1>0U 因为 − 1 -1 −1 会被转换为无符号数 1111 1111 1111~ ~1111 1111 1111 也就变成 U M a x UMax UMax
W = 32 , T M I N = − 2147483647 , T M A X = 2147483647 W =32,~TMIN = -2147483647, ~TMAX=2147483647 W=32, TMIN=−2147483647, TMAX=2147483647
2147483647 U < − 2147483647 − 1 2147483647U < -2147483647 - 1 2147483647U<−2147483647−1
( u n s i g n e d ) − 1 > − 2 (unsigned)-1 > -2 (unsigned)−1>−2
2147483647 < 2147483648 U 2147483647 < 2147483648U 2147483647<2147483648U
2147483647 > ( i n t ) 2147483648 U 2147483647 > (int)2147483648U 2147483647>(int)2147483648U, 对于 32 位系统来说, i n t int int 范围是 − 2147483648 ∼ 2147483647 -2147483648 \sim 2147483647 −2147483648∼2147483647, u n s i g n e d i n t unsigned~int unsigned int 范围是 0 ∼ 4294967295 0 \sim 4294967295 0∼4294967295,所以将 2147483648 U 2147483648U 2147483648U 转换为 i n t int int, 会溢出。
考虑以下的代码:
对于 x = TMin, 他的输出还是 TMin。
因为 − x = ∼ x + 1 -x = \sim x + 1 −x=∼x+1
对于 TMin 1000…0 取反 0111…1 再加 1, 1000…0 所以结果还是 TMin
if(x < 0)
return -x;
else
return x;
以下代码会造成无限循环。 i i i 会从 0 0 0 变为 U M a x UMax UMax (个人认为是 0 减 1 为 -1, 表示为全 1,则解释为 UMax)
unsigned int i;
for(i = n - 1; i >= 0; i --) {
f(a[i]);
}
对于下面的代码, s i z e o f ( c h a r ) sizeof(char) sizeof(char) 实际上返回的是 无符号数。 i i i 为有符号数,有符号数和无符号数比较会被转换为无符号数。 i − s i z e o f ( c h a r ) > = 0 i - sizeof(char) >= 0 i−sizeof(char)>=0 这个条件就会一直成立,无限循环。
int i;
for(i = n - 1; i - sizeof(char) >= 0; i --) {
f(a[i]);
}
Sign Extension
Task:
Given w-bit signed integer x
Convert it to (w+k)-bit integer with same value
Rule:
Make k copies of sign bit
X ′ = x w − 1 , . . . , x w − 1 , x w − 2 , . . . , x 0 X' = x_{w-1}, ..., x_{w-1}, x_{w - 2}, ..., x_0 X′=xw−1,...,xw−1,xw−2,...,x0
对于 1110 1110 1110,符号位权重为 − 2 3 = − 8 -2^3=-8 −23=−8,将它左移一位,变为 11110 11110 11110,原先符号位位置上的权重变为了 8 8 8,而新的符号位权重为 − 2 4 = − 16 -2^4=-16 −24=−16, − 16 + 8 = − 8 -16 + 8 = -8 −16+8=−8, 所以并不改变总和的效应。
Converting from smaller to larger integer data type, C automatically performs sign extension.
short int x = 15213;
int ix = (int) x;
short int y = -15213;
int iy = (int) y;
Two’s Complement Addition
-5 + 3
1011
+0011
1110 -> -2
-3 + 5
1101
+0101
10010 -> 0010 -> 2
-3 + -5
1101
+1011
10000 -> 0 负溢出
位运算
移位指令比乘法指令花的时间更少。
u < < k u << k u<<k 相当于 u × 2 k u \times 2^k u×2k
u > > k u >> k u>>k 相当于 ⌊ u / 2 k ⌋ \lfloor {u / 2^k} \rfloor ⌊u/2k⌋
前面介绍过算数右移与逻辑右移。算数右移可以保持符号位。例如 1010 为 -6,算数右移 1 位,则为 1101 为 -3。但是此时如果再右移 1 位,得到 1110 为 -2。结果出现问题。
特别的,对于负数的除法,如果需要右移 k k k 位,我们需要先加上偏移量 2 k − 1 2^k - 1 2k−1。
1101 + 1 = 1110 此时再右移 1 位,得到 1111 为 -1。
正数变负数
x − > − x x -> -x x−>−x 需要对所有位取反,再 + 1。
0101 -> 5
1010 + 1 = 1011 -> -5
使用 Unsigned 一些方式
unsigned i;
for(i = cnt - 2; i < cnt; i --)
a[i] += a[i + 1];
Better Version:
size_t i;
for(i = cnt - 2; i < cnt; i --)
a[i] += a[i + 1];
/*
1. Data type size_t defined as unsigned value with length = word size
2. Code will work even if cnt = UMax
*/
然而,当 cnt 为 signed 并且小于 0 时。会有问题。cnt 会被转换为无符号数,就会变得非常大,导致无限循环。
大端序和小端序
Big Endian
高位字节存入低地址,低位字节存入高地址。
上图从左往右 01234567
Little Endian
低位字节存入低地址,高位字节存入高地址。
从右往左 01234567
字符串
字符串以 null 结尾,也就是 ‘0’
char S[6] = '18213';
字符 ‘0’ 为 0x30,数字字符 i 为 0x30 + i
对于字符串数组来说,大端法和小端法存储没有区别。因为字符是一个字节一个字节存储,而每个都是一个整体。
[!NOTE]
例如对于 0x12345678 来说,这是一个整体,0x12 是整体的高位,0x78 是整体的低位,存储就是 0x78 0x56 0x34 0x12。而对于字符数组,内部组织形式是一个字节一个字节,数组相当于是 0x12 0x34 0x56 0x78,每个字符是一个整体。
易错
1.如果 x < 0, 那么 ( ( x ∗ 2 ) < 0 ) ((x * 2) < 0) ((x∗2)<0) 吗? 错误,因为可能会负溢出, x ∗ 2 x * 2 x∗2 可能会是一个正数。
2.如果一个数 x,x & 7 == 7,也就是最低的 3 位为 111,如果 (x << 30) 那么结果 < 0。
3.Is ux > -1? 错的。无符号数和有符号数作比较,有符号数被隐式转换为无符号数。-1 就会被转换为 UMax。
4.如果 x > y,那么 -x < -y 一定成立吗? 错误的,因为如果 y 为 TMin,我们直到 ∣ T M i n ∣ = T M a x + 1 |TMin| = TMax + 1 ∣TMin∣=TMax+1。对 TMin 取相反数,也就是 TMin 的位取反再 + 1,那就变成 TMax + 1,发生正溢出。又变回了 TMin。
5.x >= 0 那么 -x <= 0 吗? 正确的
6.x <= 0 那么 -x >= 0 吗? 错误的,比如 TMin。