解决数组中心下标问题【前缀和、改进过程】

问题描述

给你一个整数数组 nums，请计算数组的中心下标。数组中心下标是数组的一个下标，其左侧所有元素相加的和等于右侧所有元素相加的和。如果数组有多个中心下标，返回最靠近左边的那一个。如果数组不存在中心下标，返回 -1。

示例

• 示例 1：

输入：nums = [1, 7, 3, 6, 5, 6]
输出：3
解释：中心下标是 3。左侧数之和 sum = nums[0] + nums[1] + nums[2] = 1 + 7 + 3 = 11 ，右侧数之和 sum = nums[4] + nums[5] = 5 + 6 = 11 ，二者相等。

• 示例 2：

输入：nums = [1, 2, 3]
输出：-1
解释：数组中不存在满足此条件的中心下标。

• 示例 3：

输入：nums = [2, 1, -1]
输出：0
解释：中心下标是 0。左侧数之和 sum = 0 ，（下标 0 左侧不存在元素），右侧数之和 sum = nums[1] + nums[2] = 1 + -1 = 0 。

724. 寻找数组的中心下标 - 力扣（LeetCode）

思考过程

初始思路：暴力法

最开始想到的解决方案是暴力法，遍历每一个下标，然后分别计算它左右两侧的和，判断是否相等。显然，这种方法的时间复杂度为 O(n^2)，在处理大规模数据时效率较低。

class Solution {
public:
    int pivotIndex(vector<int>& nums) {
        int n = nums.size();
        for (int i = 0; i < n; ++i) {
            int leftSum = accumulate(nums.begin(), nums.begin() + i, 0);
            int rightSum = accumulate(nums.begin() + i + 1, nums.end(), 0);
            if (leftSum == rightSum) {
                return i;
            }
        }
        return -1;
    }
};

改进思路：前缀和

为了优化时间复杂度，我们引入前缀和的概念。通过计算前缀和数组，可以在 O(1) 时间内得到任意位置的左侧和和右侧和。具体步骤如下：

1. 计算前缀和数组。
2. 遍历每一个下标，利用前缀和数组计算其左右两侧的和，判断是否相等。

class Solution {
public:
    int pivotIndex(vector<int>& nums) {
        int n = nums.size();
        vector<int> prefixSum(n + 1, 0);
        for (int i = 0; i < n; ++i) {
            prefixSum[i + 1] = prefixSum[i] + nums[i];
        }
        for (int i = 0; i < n; ++i) {
            if (prefixSum[i] == prefixSum[n] - prefixSum[i + 1]) {
                return i;
            }
        }
        return -1;
    }
};

巧妙思想：总和与左和

为了进一步优化空间复杂度，我们引入一个巧妙的思想：先计算数组总和，然后在遍历过程中维护左和，通过总和和左和计算右和。具体步骤如下：

1. 计算数组总和。
2. 遍历每一个下标，维护左和，并通过总和和左和计算右和，判断是否相等。

class Solution {
public:
    int pivotIndex(vector<int>& nums) {
        int totalSum = accumulate(nums.begin(), nums.end(), 0);
        int leftSum = 0;
        for (int i = 0; i < nums.size(); ++i) {
            if (leftSum == totalSum - leftSum - nums[i]) {
                return i;
            }
            leftSum += nums[i];
        }
        return -1;
    }
};

总结与扩展

核心思路总结

在解决数组中心下标问题时，我们经历了从暴力法到前缀和再到巧妙利用总和的优化过程。最终的算法不仅提高了时间复杂度，还优化了空间复杂度。

关键点总结

1. 前缀和：通过前缀和数组，我们可以在 O(1) 时间内得到任意位置的左侧和和右侧和。
2. 巧妙思想：利用数组总和与左和，可以高效计算右和，避免了额外的空间开销。