2024年高教杯农作物的种植策完整解析（仅供参考）

题目

根据乡村的实际情况，充分利用有限的耕地资源，因地制宜，发展有机种植产业，对乡村经济的可持续发展具有重要的现实意义。选择适宜的农作物，优化种植策略，有利于方便田间管理，提高生产效益，减少各种不确定因素可能造成的种植风险。

某乡村地处华北山区，常年温度偏低，大多数耕地每年只能种植一季农作物。该乡村现有露天耕地1201亩，分散为34个大小不同的地块，包括平旱地、梯田、山坡地和水浇地4种类型。平旱地、梯田和山坡地适宜每年种植一季粮食类作物；水浇地适宜每年种植一季水稻或两季蔬菜。该乡村另有16个普通大棚和4个智慧大棚，每个大棚耕地面积为0.6亩。普通大棚适宜每年种植一季蔬菜和一季食用菌，智慧大棚适宜每年种植两季蔬菜。同一地块（含大棚）每季可以合种不同的作物。详见附件1。

根据农作物的生长规律，每种作物在同一地块（含大棚）都不能连续重茬种植，否则会减产；因含有豆类作物根菌的土壤有利于其他作物生长，从2023年开始要求每个地块（含大棚）的所有土地三年内至少种植一次豆类作物。同时，种植方案应考虑到方便耕种作业和田间管理，譬如：每种作物每季的种植地不能太分散，每种作物在单个地块（含大棚）种植的面积不宜太小，等等。2023年的农作物种植和相关统计数据见附件2。

请建立数学模型，研究下列问题：

问题1
假定各种农作物未来的预期销售量、种植成本、亩产量和销售价格相对于2023年保持稳定，每季种植的农作物在当季销售。如果某种作物每季的总产量超过相应的预期销售量，超出部分不能正常销售。请针对以下两种情况，分别给出该乡村2024~2030年农作物的最优种植方案，将结果分别填入result1_1.xlsx和result1_2.xlsx中（模板文件见附件3）。

(1) 超过部分滞销，造成浪费；
(2) 超过部分按2023年销售价格的50%降价出售。

问题2
根据经验，小麦和玉米未来的预期销售量有增长的趋势，平均年增长率介于5%_{10%之间，其他农作物未来每年的预期销售量相对于2023年大约有±5%的变化。农作物的亩产量往往会受气候等因素的影响，每年会有±10%的变化。因受市场条件影响，农作物的种植成本平均每年增长5%左右。粮食类作物的销售价格基本稳定；蔬菜类作物的销售价格有增长的趋势，平均每年增长5%左右。食用菌的销售价格稳中有降，大约每年可下降1%}5%，特别是羊肚菌的销售价格每年下降幅度为5%。

请综合考虑各种农作物的预期销售量、亩产量、种植成本和销售价格的不确定性以及潜在的种植风险，给出该乡村2024~2030年农作物的最优种植方案，将结果填入result2.xlsx中（模板文件见附件3）。

问题3
在现实生活中，各种农作物之间可能存在一定的可替代性和互补性，预期销售量与销售价格、种植成本之间也存在一定的相关性。请在问题2的基础上综合考虑相关因素，给出该乡村2024~2030年农作物的最优种植策略，通过模拟数据进行求解，并与问题2的结果作比较分析。

附件1 乡村现有耕地和农作物的基本情况
附件2 2023年乡村农作物种植和相关统计数据
附件3 须提交结果的模板文件（result1_1.xlsx，result1_2.xlsx，result2.xlsx）

数学模型（仅供参考）

问题1：最优种植方案

问题1.1：超过部分滞销，造成浪费

模型建立：

1. 目标函数：最大化总收益。
   $$\text{Maximize }Z=\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^m\left(P_i\cdot \min (Q_{ij}\cdot X_{ij},S_i)\right)$$

• $P_i$：第 (i) 种作物的销售价格。
• $Q_{ij}$：第 (i) 种作物在第 (j) 个地块的亩产量。
• $X_{ij}$：第 (i) 种作物在第 (j) 个地块的种植面积。
• $S_i$：第 (i) 种作物的预期销售量。

2. 约束条件：
   • 种植面积约束：每种作物的种植面积不能超过其预期销售量对应的面积。
     $$\sum _{j=1}^m{X}_{ij}\le \frac{S_i}{Q_{ij}}$$
   • 地块面积约束：每个地块的种植面积不能超过其总面积。
     $$\sum _{i=1}^n{X}_{ij}\le A_j$$
     • $A_j$：第 ( j ) 个地块的总面积。
   • 重茬约束：每种作物在同一地块不能连续重茬种植。
     $$X_{ij}+X_{i(j+1)}\le 1\forall i,j$$
   • 豆类作物约束：每个地块三年内至少种植一次豆类作物。
     • 单季地块：
       ∑ t = 2023 2025 X i j t ≥ 1 ∀ j ∈ { 平旱地, 梯田, 山坡地 } \sum_{t=2023}^{2025} X_{ijt} \geq 1 \quad \forall j \in \{\text{平旱地, 梯田, 山坡地}\} t=2023∑2025​Xijt​≥1∀j∈{平旱地, 梯田, 山坡地}
     • 两季地块：
       ∑ t = 2023 2025 ( X i j t 第一季 + X i j t 第二季 ) ≥ 1 ∀ j ∈ { 水浇地, 普通大棚, 智慧大棚 } \sum_{t=2023}^{2025} \left( X_{ijt}^{\text{第一季}} + X_{ijt}^{\text{第二季}} \right) \geq 1 \quad \forall j \in \{\text{水浇地, 普通大棚, 智慧大棚}\} t=2023∑2025​(Xijt第一季​+Xijt第二季​)≥1∀j∈{水浇地, 普通大棚, 智慧大棚}
   • 种植分散度约束：每种作物的种植地不能太分散。
     $$\sum _{j=1}^m{X}_{ij}\le D_i$$
     • $D_i$：第 ( i ) 种作物的最大分散度。
   • 地块类型约束：
     • 平旱地、梯田和山坡地：每年只能种植一季粮食类作物（水稻除外）。
       ∑ i ∈ 粮食类作物 X i j ≤ A j ∀ j ∈ { 平旱地, 梯田, 山坡地 } \sum_{i \in \text{粮食类作物}} X_{ij} \leq A_j \quad \forall j \in \{\text{平旱地, 梯田, 山坡地}\} i∈粮食类作物∑​Xij​≤Aj​∀j∈{平旱地, 梯田, 山坡地}
     • 水浇地：每年可以种植一季水稻或两季蔬菜。
       ∑ i ∈ { 水稻 } X i j ≤ A j ∀ j ∈ { 水浇地 } \sum_{i \in \{\text{水稻}\}} X_{ij} \leq A_j \quad \forall j \in \{\text{水浇地}\} i∈{水稻}∑​Xij​≤Aj​∀j∈{水浇地}
       ∑ i ∈ 蔬菜类作物 X i j ≤ 2 ⋅ A j ∀ j ∈ { 水浇地 } \sum_{i \in \text{蔬菜类作物}} X_{ij} \leq 2 \cdot A_j \quad \forall j \in \{\text{水浇地}\} i∈蔬菜类作物∑​Xij​≤2⋅Aj​∀j∈{水浇地}
     • 普通大棚：每年种植两季作物，第一季可种植多种蔬菜（大白菜、白萝卜和红萝卜除外），第二季只能种植食用菌。
       ∑ i ∈ 蔬菜类作物 ∖ { 大白菜, 白萝卜, 红萝卜 } X i j ≤ A j ∀ j ∈ { 普通大棚 } \sum_{i \in \text{蔬菜类作物} \setminus \{\text{大白菜, 白萝卜, 红萝卜}\}} X_{ij} \leq A_j \quad \forall j \in \{\text{普通大棚}\} i∈蔬菜类作物∖{大白菜, 白萝卜, 红萝卜}∑​Xij​≤Aj​∀j∈{普通大棚}
       ∑ i ∈ 食用菌 X i j ≤ A j ∀ j ∈ { 普通大棚 } \sum_{i \in \text{食用菌}} X_{ij} \leq A_j \quad \forall j \in \{\text{普通大棚}\} i∈食用菌∑​Xij​≤Aj​∀j∈{普通大棚}
     • 智慧大棚：每年都可种植两季蔬菜（大白菜、白萝卜和红萝卜除外）。
       ∑ i ∈ 蔬菜类作物 ∖ { 大白菜, 白萝卜, 红萝卜 } X i j ≤ 2 ⋅ A j ∀ j ∈ { 智慧大棚 } \sum_{i \in \text{蔬菜类作物} \setminus \{\text{大白菜, 白萝卜, 红萝卜}\}} X_{ij} \leq 2 \cdot A_j \quad \forall j \in \{\text{智慧大棚}\} i∈蔬菜类作物∖{大白菜, 白萝卜, 红萝卜}∑​Xij​≤2⋅Aj​∀j∈{智慧大棚}

求解方法：使用线性规划求解器（如Gurobi、CPLEX）求解上述模型。

结果输出：将结果填入 result1_1.xlsx 中。

问题1.2：超过部分按2023年销售价格的50%降价出售

模型建立：

1. 目标函数：最大化总收益。
   $$\text{Maximize }Z=\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^m\left(P_i\cdot \min (Q_{ij}\cdot X_{ij},S_i)+0.5\cdot P_i\cdot \max (0,Q_{ij}\cdot X_{ij}-S_i)\right)$$

2. 约束条件：与问题1.1相同。

求解方法：使用线性规划求解器求解上述模型。

结果输出：将结果填入 result1_2.xlsx 中。

问题2：考虑不确定性和风险的最优种植方案

模型建立：

1. 目标函数：最大化总收益。
   $$\text{Maximize }Z=\sum _{t=2024}^{2030}\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^m\left(P_i(t)\cdot Q_{ij}(t)\cdot X_{ij}(t)-C_i(t)\cdot X_{ij}(t)\right)$$

   • $P_i(t)$：第 ( t ) 年第 ( i ) 种作物的销售价格。
   • $Q_{ij}(t)$：第 ( t ) 年第 ( i ) 种作物在第 ( j ) 个地块的亩产量。
   • $X_{ij}(t)$：第 ( t ) 年第 ( i ) 种作物在第 ( j ) 个地块的种植面积。
   • $C_i(t)$：第 ( t ) 年第 ( i ) 种作物的种植成本。

2. 约束条件：

   • 种植面积约束：每种作物的种植面积不能超过其预期销售量对应的面积。
     $$\sum _{j=1}^m{X}_{ij}(t)\le \frac{S_i(t)}{Q_{ij}(t)}$$
     • $S_i(t)$：第 ( t ) 年第 ( i ) 种作物的预期销售量。
   • 地块面积约束：每个地块的种植面积不能超过其总面积。
     $$\sum _{i=1}^n{X}_{ij}(t)\le A_j$$
   • 重茬约束：每种作物在同一地块不能连续重茬种植。
     $$X_{ij}(t)+X_{i(j+1)}(t)\le 1\forall i,j,t$$
   • 豆类作物约束：每个地块三年内至少种植一次豆类作物。
     • 单季地块：
       ∑ t = 2023 2025 X i j t ≥ 1 ∀ j ∈ { 平旱地, 梯田, 山坡地 } \sum_{t=2023}^{2025} X_{ijt} \geq 1 \quad \forall j \in \{\text{平旱地, 梯田, 山坡地}\} t=2023∑2025​Xijt​≥1∀j∈{平旱地, 梯田, 山坡地}
     • 两季地块：
       ∑ t = 2023 2025 ( X i j t 第一季 + X i j t 第二季 ) ≥ 1 ∀ j ∈ { 水浇地, 普通大棚, 智慧大棚 } \sum_{t=2023}^{2025} \left( X_{ijt}^{\text{第一季}} + X_{ijt}^{\text{第二季}} \right) \geq 1 \quad \forall j \in \{\text{水浇地, 普通大棚, 智慧大棚}\} t=2023∑2025​(Xijt第一季​+Xijt第二季​)≥1∀j∈{水浇地, 普通大棚, 智慧大棚}
   • 种植分散度约束：每种作物的种植地不能太分散。
     $$\sum _{j=1}^m{X}_{ij}(t)\le D_i$$
   • 地块类型约束：
     • 平旱地、梯田和山坡地：每年只能种植一季粮食类作物（水稻除外）。
       ∑ i ∈ 粮食类作物 X i j ( t ) ≤ A j ∀ j ∈ { 平旱地, 梯田, 山坡地 } \sum_{i \in \text{粮食类作物}} X_{ij}(t) \leq A_j \quad \forall j \in \{\text{平旱地, 梯田, 山坡地}\} i∈粮食类作物∑​Xij​(t)≤Aj​∀j∈{平旱地, 梯田, 山坡地}
     • 水浇地：每年可以种植一季水稻或两季蔬菜。
       ∑ i ∈ { 水稻 } X i j ( t ) ≤ A j ∀ j ∈ { 水浇地 } \sum_{i \in \{\text{水稻}\}} X_{ij}(t) \leq A_j \quad \forall j \in \{\text{水浇地}\} i∈{水稻}∑​Xij​(t)≤Aj​∀j∈{水浇地}
       ∑ i ∈ 蔬菜类作物 X i j ( t ) ≤ 2 ⋅ A j ∀ j ∈ { 水浇地 } \sum_{i \in \text{蔬菜类作物}} X_{ij}(t) \leq 2 \cdot A_j \quad \forall j \in \{\text{水浇地}\} i∈蔬菜类作物∑​Xij​(t)≤2⋅Aj​∀j∈{水浇地}
     • 普通大棚：每年种植两季作物，第一季可种植多种蔬菜（大白菜、白萝卜和红萝卜除外），第二季只能种植食用菌。
       ∑ i ∈ 蔬菜类作物 ∖ { 大白菜, 白萝卜, 红萝卜 } X i j ( t ) ≤ A j ∀ j ∈ { 普通大棚 } \sum_{i \in \text{蔬菜类作物} \setminus \{\text{大白菜, 白萝卜, 红萝卜}\}} X_{ij}(t) \leq A_j \quad \forall j \in \{\text{普通大棚}\} i∈蔬菜类作物∖{大白菜, 白萝卜, 红萝卜}∑​Xij​(t)≤Aj​∀j∈{普通大棚}
       ∑ i ∈ 食用菌 X i j ( t ) ≤ A j ∀ j ∈ { 普通大棚 } \sum_{i \in \text{食用菌}} X_{ij}(t) \leq A_j \quad \forall j \in \{\text{普通大棚}\} i∈食用菌∑​Xij​(t)≤Aj​∀j∈{普通大棚}
     • 智慧大棚：每年都可种植两季蔬菜（大白菜、白萝卜和红萝卜除外）。
       ∑ i ∈ 蔬菜类作物 ∖ { 大白菜, 白萝卜, 红萝卜 } X i j ( t ) ≤ 2 ⋅ A j ∀ j ∈ { 智慧大棚 } \sum_{i \in \text{蔬菜类作物} \setminus \{\text{大白菜, 白萝卜, 红萝卜}\}} X_{ij}(t) \leq 2 \cdot A_j \quad \forall j \in \{\text{智慧大棚}\} i∈蔬菜类作物∖{大白菜, 白萝卜, 红萝卜}∑​Xij​(t)≤2⋅Aj​∀j∈{智慧大棚}

3. 不确定性处理：

   • 预期销售量：小麦和玉米的预期销售量每年增长5%~10%，其他作物的预期销售量每年变化±5%。
   • 亩产量：每年变化±10%。
   • 种植成本：每年增长5%。
   • 销售价格：粮食类作物价格稳定，蔬菜类作物每年增长5%，食用菌每年下降1%~5%。

4. 风险模型：

   • 风险约束：考虑种植风险，引入风险系数 ( R_i(t) )，表示第 ( t ) 年第 ( i ) 种作物的风险水平。
     $$\sum _{j=1}^m{X}_{ij}(t)\le \frac{S_i(t)}{Q_{ij}(t)\cdot R_i(t)}$$
   • 风险系数：根据历史数据和专家经验，确定每种作物的风险系数 ( R_i(t) )。

求解方法：使用随机规划或鲁棒优化方法处理不确定性，并使用线性规划求解器求解上述模型。

结果输出：将结果填入 result2.xlsx 中。

问题3：考虑可替代性和互补性的最优种植策略

模型建立：

1. 目标函数：最大化总收益。
   $$\text{Maximize }Z=\sum _{t=2024}^{2030}\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^m\left(P_i(t)\cdot Q_{ij}(t)\cdot X_{ij}(t)-C_i(t)\cdot X_{ij}(t)\right)$$

2. 约束条件：

   • 种植面积约束：每种作物的种植面积不能超过其预期销售量对应的面积。
     $$\sum _{j=1}^m{X}_{ij}(t)\le \frac{S_i(t)}{Q_{ij}(t)}$$
   • 地块面积约束：每个地块的种植面积不能超过其总面积。
     $$\sum _{i=1}^n{X}_{ij}(t)\le A_j$$
   • 重茬约束：每种作物在同一地块不能连续重茬种植。
     $$X_{ij}(t)+X_{i(j+1)}(t)\le 1\forall i,j,t$$
   • 豆类作物约束：每个地块三年内至少种植一次豆类作物。
     • 单季地块：
       ∑ t = 2023 2025 X i j t ≥ 1 ∀ j ∈ { 平旱地, 梯田, 山坡地 } \sum_{t=2023}^{2025} X_{ijt} \geq 1 \quad \forall j \in \{\text{平旱地, 梯田, 山坡地}\} t=2023∑2025​Xijt​≥1∀j∈{平旱地, 梯田, 山坡地}
     • 两季地块：
       ∑ t = 2023 2025 ( X i j t 第一季 + X i j t 第二季 ) ≥ 1 ∀ j ∈ { 水浇地, 普通大棚, 智慧大棚 } \sum_{t=2023}^{2025} \left( X_{ijt}^{\text{第一季}} + X_{ijt}^{\text{第二季}} \right) \geq 1 \quad \forall j \in \{\text{水浇地, 普通大棚, 智慧大棚}\} t=2023∑2025​(Xijt第一季​+Xijt第二季​)≥1∀j∈{水浇地, 普通大棚, 智慧大棚}
   • 种植分散度约束：每种作物的种植地不能太分散。
     $$\sum _{j=1}^m{X}_{ij}(t)\le D_i$$
   • 地块类型约束：
     • 平旱地、梯田和山坡地：每年只能种植一季粮食类作物（水稻除外）。
       ∑ i ∈ 粮食类作物 X i j ( t ) ≤ A j ∀ j ∈ { 平旱地, 梯田, 山坡地 } \sum_{i \in \text{粮食类作物}} X_{ij}(t) \leq A_j \quad \forall j \in \{\text{平旱地, 梯田, 山坡地}\} i∈粮食类作物∑​Xij​(t)≤Aj​∀j∈{平旱地, 梯田, 山坡地}
     • 水浇地：每年可以种植一季水稻或两季蔬菜。
       ∑ i ∈ { 水稻 } X i j ( t ) ≤ A j ∀ j ∈ { 水浇地 } \sum_{i \in \{\text{水稻}\}} X_{ij}(t) \leq A_j \quad \forall j \in \{\text{水浇地}\} i∈{水稻}∑​Xij​(t)≤Aj​∀j∈{水浇地}
       ∑ i ∈ 蔬菜类作物 X i j ( t ) ≤ 2 ⋅ A j ∀ j ∈ { 水浇地 } \sum_{i \in \text{蔬菜类作物}} X_{ij}(t) \leq 2 \cdot A_j \quad \forall j \in \{\text{水浇地}\} i∈蔬菜类作物∑​Xij​(t)≤2⋅Aj​∀j∈{水浇地}
     • 普通大棚：每年种植两季作物，第一季可种植多种蔬菜（大白菜、白萝卜和红萝卜除外），第二季只能种植食用菌。
       ∑ i ∈ 蔬菜类作物 ∖ { 大白菜, 白萝卜, 红萝卜 } X i j ( t ) ≤ A j ∀ j ∈ { 普通大棚 } \sum_{i \in \text{蔬菜类作物} \setminus \{\text{大白菜, 白萝卜, 红萝卜}\}} X_{ij}(t) \leq A_j \quad \forall j \in \{\text{普通大棚}\} i∈蔬菜类作物∖{大白菜, 白萝卜, 红萝卜}∑​Xij​(t)≤Aj​∀j∈{普通大棚}
       ∑ i ∈ 食用菌 X i j ( t ) ≤ A j ∀ j ∈ { 普通大棚 } \sum_{i \in \text{食用菌}} X_{ij}(t) \leq A_j \quad \forall j \in \{\text{普通大棚}\} i∈食用菌∑​Xij​(t)≤Aj​∀j∈{普通大棚}
     • 智慧大棚：每年都可种植两季蔬菜（大白菜、白萝卜和红萝卜除外）。
       ∑ i ∈ 蔬菜类作物 ∖ { 大白菜, 白萝卜, 红萝卜 } X i j ( t ) ≤ 2 ⋅ A j ∀ j ∈ { 智慧大棚 } \sum_{i \in \text{蔬菜类作物} \setminus \{\text{大白菜, 白萝卜, 红萝卜}\}} X_{ij}(t) \leq 2 \cdot A_j \quad \forall j \in \{\text{智慧大棚}\} i∈蔬菜类作物∖{大白菜, 白萝卜, 红萝卜}∑​Xij​(t)≤2⋅Aj​∀j∈{智慧大棚}

3. 不确定性处理：

   • 预期销售量：小麦和玉米的预期销售量每年增长5%~10%，其他作物的预期销售量每年变化±5%。
   • 亩产量：每年变化±10%。
   • 种植成本：每年增长5%。
   • 销售价格：粮食类作物价格稳定，蔬菜类作物每年增长5%，食用菌每年下降1%~5%。

4. 风险模型：

   • 风险约束：考虑种植风险，引入风险系数 ( R_i(t) )，表示第 ( t ) 年第 ( i ) 种作物的风险水平。
     $$\sum _{j=1}^m{X}_{ij}(t)\le \frac{S_i(t)}{Q_{ij}(t)\cdot R_i(t)}$$
   • 风险系数：根据历史数据和专家经验，确定每种作物的风险系数 ( R_i(t) )。

求解方法：使用随机规划或鲁棒优化方法处理不确定性，并使用线性规划求解器求解上述模型。

结果输出：将结果填入 result3.xlsx 中，并与问题2的结果进行比较分析。