矩阵/矩阵乘法/特征值/特征向量的讲解

发布于:2024-11-28 ⋅ 阅读:(26) ⋅ 点赞:(0)

线性代数里有很多的概念,很多概念是有几何意义的,了解了几何意义可能会更好的理解各种概念及其相互之间的关系。

矩阵:

矩阵是一个变换,一个坐标系到另一个坐标系的变换。矩阵里的各个参数,代表了如何进行变换。

矩阵的乘法:

这篇解释容易理解:

矩阵与向量的乘积 - 一杯明月 - 博客园

说的关键点:

        一个矩阵乘以一个列向量相当于矩阵的列向量的线性组合

        一个行向量乘以矩阵,相当于矩阵的行向量的线性组合

它的意义:矩阵乘一个向量,就是使向量进行旋转/平移/伸缩变化。这个矩阵决定了向量如何变。

特征值/特征向量:

特征向量:是相对矩阵而言,矩阵代表变换,矩阵的特征向量,表明这个向量通过这个矩阵进行变换时,只会进行缩放,而不会有旋转或平移。而且,缩放的比例就是特征值的大小。特征值的正负表示缩放的方向。

这篇将特征值/特征向量举的列子很形象,容易理解:

花了10分钟,终于弄懂了特征值和特征向量到底有什么意义_特征向量有什么用-CSDN博客

里面的几个动画比较好理解。但还是没清楚特征值和特征向量有什么意义。

它的意义:矩阵乘特征向量,特征向量只会伸缩不会有旋转/平移伸缩的大小就是特征值的大小。(也可以反过来说,矩阵乘一个向量,这个向量只会伸缩,不会旋转或平移的,就是特征向量)

内积/外积:

向量的乘法中,点乘是内积,是一个数(所以也叫数量积)。叉乘是外积,还是一个向量(所以也叫向量积)。tmd,一个东西取这么多名字,也不考虑学这个东西的人的困惑,害死人。

(助记方法:

内积:想象箭头的形状,远处一支箭现自己射来,只看到一个点,这个点冲向自己,就是向内。

外积:自己射出一支箭,看到箭头,有细节形状,像一把叉,射向外边,就是外积)。

这篇写的很详细,基础,不过不方便快速阅读关键点。

第3.3点讲的几何意义,很有意思。

https://zhuanlan.zhihu.com/p/675303373

不管是点乘还是叉乘,都是基于向量。

向量和矩阵的区别:

向量就是指只有一行或一列的。矩阵,就是多行多列的。

左乘 vs. 右乘:

左乘或右乘,都是相对向量说的。比如,矩阵M左乘向量A,向量A左乘矩阵M,都是说:MA。

“矩阵左乘一个列向量”,这里说的“左”是指谁的“左”。是相对“列向量”说的,不是说“矩阵”,不搞清楚这一点,就容易分不清左右。md,害死人。

一组向量线性无关,意味着无法通过其他向量的线性组合得到其中的任一向量。

坐标变换:

从这里偷了(读书人怎能说偷,是窃)张图。https://zhuanlan.zhihu.com/p/683873038

里面的1.2的基变换,可能容易理解升维让本来无解的问题变得有解,降维让复杂的问题变的容易求解。

比如文章说的例子,两个2维基,本来不相关,但升维到3维空间,它们之间就有关系了,也就有了某种解(如果需要)。同样还是这个3维空间,如果某两个三维向量,存在某种关系,但如果它们降维到一个2维平面内求解,是不是就容易些了。

相似矩阵:

意义:两个不同基下的矩阵A和B,在各自基下(坐标系下)对向量起到的变换作用相同(旋转/平移/缩放)。

基:

正交向量+基向量->正交基向量->标准正交基向量。

正交矩阵(按上面的顺序,叫标准正交矩阵,更合适一些):把标准正交基向量写为矩阵的形式,就是正交矩阵。(所以一定是个方阵)

行列式:

行列式的值的意义:这个行列式转换后,相比转换前,面积放大了多少倍(二维:基围成的面积,三维:基围成的体积。更高维人不好想象)。

所以,行列式为0,表明空间被压缩到更小的维度上,比如,如果是平面,则被压缩为一条线或一个点,空间就被压缩成一个平面或点或点。

行列式为负,只是表明方向出现了改变,绝对值还是表示缩放的倍数。

对于二维空间而言,行列式的值就是向量围成的面积(其实就是向量的点积)。

05-行列式_哔哩哔哩_bilibili

秩:

秩的值:表示一个向量通过这个行列式进行变换后的维度。比如平面,维度为2,秩就是2。空间,维度为3,秩应该是3。

如果一个3维空间,通过一个秩为2的矩阵进行转换,就说明空间进行了压缩,变成了一个平面。

06-逆矩阵、列空间、秩与零空间_哔哩哔哩_bilibili

对角矩阵:

对角矩阵可以理解为:特征向量作为基向量。

由特征向量组成的基,也称为:特征基。

特征向量意味着变换矩阵对特征向量只缩放,没有平移或旋转。特征值就是缩放的比例。

线性变换:

满足两个条件的变换就是线性变换:

1、保持加法运算不变:两个向量相加后变换和分别变换后再相加,得到的结果一致。

2、保持数乘运算不变:一个数乘一个向量后,再变换,和向量变换后,再乘一个数,结果一致。

函数和线性代数:

它两有相似性,一些的概念别名对比:

学而时习之。