2021 年 12 月青少年软编等考 C 语言四级真题解析

T1. 移动路线

桌子上有一个 $m$ 行 $n$ 列的方格矩阵，将每个方格用坐标表示，行坐标从下到上依次递增，列坐标从左至右依次递增，左下角方格的坐标为 $(1,1)$，则右上角方格的坐标为 $(m,n)$。

小明是个调皮的孩子，一天他捉来一只蚂蚁，不小心把蚂蚁的右脚弄伤了，于是蚂蚁只能向上或向右移动。小明把这只蚂蚁放在左下角的方格中，蚂蚁从左下角的方格中移动到右上角的方格中，每步移动一个方格。蚂蚁始终在方格矩阵内移动，请计算出不同的移动路线的数目。

对于 $1$ 行 $1$ 列的方格矩阵，蚂蚁原地移动，移动路线数为 $1$ ；对于 $1$ 行 $2$ 列（或 $2$ 行 $1$ 列）的方格矩阵，蚂蚁只需一次向右（或向上）移动，移动路线数也为 $1$；…… 对于一个 $2$ 行 $3$ 列的方格矩阵，如下图所示：

蚂蚁共有 $3$ 种移动路线：

• 路线 $1$：$(1,1)\to (1,2)\to (1,3)\to (2,3)$
• 路线 $2$：$(1,1)\to (1,2)\to (2,2)\to (2,3)$
• 路线 $3$：$(1,1)\to (2,1)\to (2,2)\to (2,3)$

时间限制：1 s
内存限制：64 MB

• 输入
  输入只有一行，包括两个整数 $m$ 和 $n$（$0<m+n\le 20$），代表方格矩阵的行数和列数，$m$、$n$ 之间用空格隔开。
• 输出
  输出只有一行，为不同的移动路线的数目。
• 样例输入

  2 3
  

• 样例输出

  3
  

思路分析

此题考查动态规划，属于基础题。

定义 $f_{i,j}$ 表示从 $(1,1)$ 走到 $(i,j)$ 的方法数，不难得出状态转移方程为
$$f_{i,j}=f_{i-1,j}+f_{i,j-1}$$

初始值为 $f_{i,0}=f_{0,j}=1$，其中 $1\le i\le n$，$1\le j\le m$，事实上，我们可以将 $f_{1,0}$ 或 $f_{0,1}$ 初始化为 $1$，然后从第一行第一列开始求解。最终 $f_{n,m}$ 即为答案。

/*
 * Name: T1.cpp
 * Problem: 移动路线
 * Author: Teacher Gao.
 * Date&Time: 2024/12/11 17:50
 */

#include <iostream>

using namespace std;

int main()
{
   
	ios::sync_with_stdio(false);
	cin.tie(0);
	
	int n, m, f[25][25] = {
   0};
	cin >> n >> m;

	f[1