全国青少年信息学奥林匹克竞赛（信奥赛）备考实战之循环结构（for循环语句）—（十）（求解数学中特殊的数）

实战训练1—完全数

问题描述：

数学上的“完全数”是指真因子（除了自身以外的约数）之和等于它本身的自然数。例如，6的因子是1,2,3，而1+2+3=6，所以6是完全数。如果一个正整数小于它的所有真因数之和，被称为“不足数”。如果一个正整数大于它的所有真因数之和，被称为“过剩数”。编程实现判断一个正整数是完全数、不足数还是过剩数。

输入格式：

输入一行，包含一个正整数n

输出格式：

输出一行，如果n是完全数，则输出"Perfect"，不足数则输出"Deficient"，过剩数则输出"Abundant"。

输入输出样例：

问题分析：

根据题意，对于正整数n需要计算其所有正因子（不包括它本身）的和，借鉴求素数的思想，从1开始到n-1结束依次去整除n，使用循环来实现，循环变量i初始值为1，终值为n-1，更新表达式为自增运算，循环体内循环变量依次去整除n，如果n%i==0，那么将i累加到因子和，最后判断因子和是否等于它本身，等于则这个数是完全数，小于则为不足数，否则为过剩数。具体程序代码如下：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main() {
	int n,sum=0;//定义正整数n和，因子和变量sum并初始化为0
	cin>>n;//输入n
	for(int i=1; i<n; i++) {//定义循环变量i，从1到n-1 
		if(n%i==0) {//循环变量i依次去整除n，判断i是否为n的因子 
			sum += i;//将因子i累加到和变量sum中 
		}
	}
	if(sum==n) {//判断sum是否和该数相等 
		cout<<"Perfect"<<endl;//完全数 
	} else if(sum>n) {//判断sum是否大于n 
		cout<<"Abundant"<<endl;//过剩数 
	} else {
		cout<<"Deficient"<<endl;//不足数 
	}
	return 0;
}

 在判断素数时，对代码进行了改进，每个数的因子是成对出现的，所以找到一个因子之后，让n去除以该因子得到另一个因子，当然需要考虑这两个因子是否相等，同时需要将该数本身去除出去，可以将循环变量的终值修改为sqrt(n),这样减少了代码循环次数，提高了效率。具体程序代码如下：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main() {
	int n,sum=0;//定义正整数n和，因子和变量sum并初始化为0
	cin>>n;//输入n
	for(int i=1; i<=sqrt(n); i++) {//定义循环变量i，从1到sqrt(n) 
		if(n%i==0) {//循环变量i依次去整除n，判断i是否为n的因子 
			if(i != n/i){//判断两个因子是否相等，如果不相等进入本分支 
				sum += i;//将因子i累加到和变量sum中 
				if(n/i != n){//需要考虑i为1时，另一因子是该数本身，所以不能将本身累加到和sum中 
					sum += n/i;//将另一个因子n/i累加到和变量sum中 
				}
			}else{//两个因子相等
				sum += i;//两个因子相等只需累加一次 
			} 		
		}
	}
	if(sum==n) {//判断sum是否和该数相等 
		cout<<"Perfect"<<endl;//完全数 
	} else if(sum>n) {//判断sum是否大于n 
		cout<<"Abundant"<<endl;//过剩数 
	} else {
		cout<<"Deficient"<<endl;//不足数 
	}
	return 0;
}

实战训练2—寻找指定范围的完全数

问题描述：

数学上的“完全数”是指真因子（除了自身以外的约数）之和等于它本身的自然数。例如，6的因子是1,2,3，而1+2+3=6，所以6是完全数。输入两个整数m和n，且m<=n，输出m到n这个范围内所有的完全数。

输入格式：

输入一行，两个整数m和n，且m<=n。

输出格式：

输出一行，输出所有的完全数，完全数之间用一个空格隔开。

输入输出样例：

问题分析：

通过实战训练2可知判断一个整数是否为完全数时采用单层循环，现在该训练修改为统计某个范围内的完全数，即对该范围内的所有整数，依次去判断该整数是否为是否为完全数，因此需要采用for循环嵌套来实现，外层循环变量i表示整数范围m到n，内层循环变量j表示是否为i的因子，j的取值从1到i-1，用j去整除i。具体程序代码如下：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main() {
	int m,n;//定义正整数范围m和n
	cin>>m>>n;//输入m和n的值 
	for(int i=m;i<=n;i++){//定义外层循环，循环变量i从m到n 
        int sum =0;//定义因子和变量sum，并初始化为0 
        for(int j=1;j<i;j++){//定义内层循环，循环变量j依次去整除i，判断j是否为i的因子
            if(i%j==0){//如果i能被j整除 
                sum += j;//将因子j累加到和变量sum中 
            }
        }
        if(sum == i){//如果因子和等于该数本身，则为完全数 
            cout<<i<<" ";//输出该完全数i 
        }
    }
	return 0;
}

 同理将内层循环的终值值设置为sqrt(i),程序代码如下：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main() {
	int m,n;//定义正整数范围m和n
	cin>>m>>n;//输入m和n的值
	for(int i=m; i<=n; i++) { //定义外层循环，循环变量i从m到n
		int sum =0;//定义因子和变量sum，并初始化为0
		for(int j=1; j<=sqrt(i); j++) {//定义循环变量j，从1到sqrt(i)
			if(i%j==0) {//循环变量j依次去整除i，判断j是否为i的因子
				if(j != i/j) { //判断两个因子是否相等，如果不相等进入本分支
					sum += j;//将因子j累加到和变量sum中
					if(i/j != i) { //需要考虑j为1时，另一因子是该数本身，所以不能将本身累加到和sum
						sum += i/j;//将另一个因子i/j累加到和变量sum中
					}
				} else { //两个因子相等
					sum += j;//两个因子相等只需累加一次
				}
			}
		}
		if(sum == i) { //如果因子和等于该数本身，则为完全数
			cout<<i<<" ";//输出该完全数i
		}
	}
	return 0;
}