LeetCode805 数组的均值切割

如何将数组分成两个平均值相等的子数组？

问题描述

给定一个整数数组 nums，我们需要将数组中的每个元素移动到 A 数组或 B 数组中，使得 A 和 B 都不为空，并且它们的平均值相等。如果可以实现，返回 true，否则返回 false。

注意：对于数组 arr，average(arr) 是 arr 的所有元素的和除以 arr 的长度。

示例：

输入: nums = [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8]
输出: true
解释: 可以将数组分成 [1, 2, 3, 6] 和 [4, 5, 7, 8]，它们的平均值都是 3。

解题思路

1. 问题分析

我们需要将数组 nums 分成两个非空子数组 A 和 B，使得它们的平均值相等。根据平均值的性质，可以得出以下结论：

• 如果 A 和 B 的平均值相等，那么整个数组 nums 的平均值也必须等于 A 和 B 的平均值。

• 即：average(A) = average(B) = average(nums)。

2. 数学推导

假设 A 的长度为 k，那么 A 的和需要满足：

sum(A) / k = sum(nums) / n

其中 n 是 nums 的长度。我们可以将其变形为：

sum(A) = (sum(nums) * k) / n

由于 sum(A) 必须是整数，因此 (sum(nums) * k) / n 也必须是整数。

3. 动态规划

我们可以通过动态规划来判断是否存在一个子集 A，使得 sum(A) = (sum(nums) * k) / n。具体步骤如下：

1. 计算数组 nums 的总和 totalSum。

2. 遍历所有可能的子集大小 k（从 1 到 n/2）。

3. 对于每个 k，检查 (totalSum * k) % n 是否为 0。如果不为 0，则跳过。

4. 使用动态规划判断是否存在一个大小为 k 的子集，其和为 targetSum = (totalSum * k) / n。

代码实现

以下是基于上述思路的 C 语言实现：

#include <stdbool.h>
#include <stdlib.h>

bool splitArraySameAverage(int* nums, int numsSize) {
    int totalSum = 0;
    for (int i = 0; i < numsSize; i++) {
        totalSum += nums[i];
    }

    // 遍历所有可能的子集大小 k
    for (int k = 1; k <= numsSize / 2; k++) {
        // 检查 (totalSum * k) % numsSize 是否为 0
        if ((totalSum * k) % numsSize != 0) {
            continue;
        }

        int targetSum = (totalSum * k) / numsSize;

        // 使用动态规划来判断是否存在一个大小为 k 的子集，其和为 targetSum
        bool dp[k + 1][targetSum + 1];
        for (int i = 0; i <= k; i++) {
            for (int j = 0; j <= targetSum; j++) {
                dp[i][j] = false;
            }
        }
        dp[0][0] = true;

        for (int i = 0; i < numsSize; i++) {
            for (int j = k; j >= 1; j--) {
                for (int s = targetSum; s >= nums[i]; s--) {
                    if (dp[j - 1][s - nums[i]]) {
                        dp[j][s] = true;
                    }
                }
            }
        }

        if (dp[k][targetSum]) {
            return true;
        }
    }

    return false;
}

复杂度分析

• 时间复杂度：O(n^2 * sum)，其中 n 是数组的长度，sum 是数组的总和。

• 空间复杂度：O(n * sum)，用于存储动态规划表。

总结

通过数学推导和动态规划，我们可以高效地解决这个问题。关键在于将问题转化为寻找一个子集，使得其和满足特定条件。动态规划是一种强大的工具，能够帮助我们解决类似的子集和问题。

如果你对动态规划或类似的算法问题感兴趣，可以尝试解决更多相关题目，例如 子集和问题 或 背包问题。