scipy.signal.lfilter 是 SciPy 库中用于实现线性滤波的函数，它基于差分方程对信号进行滤波。它的原理是通过递归的方式计算输入信号的滤波输出，适用于无限脉冲响应（IIR）滤波器和有限脉冲响应。
1. 滤波器的数学表示
lfilter 是基于线性时不变系统（LTI）的差分方程实现的。差分方程的一般形式为：
其中：
x[n] 是输入信号。
y[n] 是输出信号。
a 是分母系数（反馈系数），表示系统的递归部分。
b 是分子系数（前馈系数），表示系统的非递归部分。
通过调整 a 和 b 的值，可以实现不同类型的滤波器（如低通、高通、带通等）。
2. lfilter 的工作原理：
lfilter 的实现基于以下步骤：
初始化：
如果滤波器是 IIR 滤波器（即 a 系数不全为 1），需要初始化滤波器的状态（初始条件）。
初始条件可以通过
scipy.signal.lfilter_zi计算。
递归计算：
对于每个时间点 nn，根据差分方程计算输出 y[n]：
这个公式是差分方程的直接实现，表示当前输出 y[n] 依赖于当前和过去的输入 x[n] 以及过去的输出 y[n-k]。
边界处理：
对于信号的开头部分（n < 0），输入和输出的历史值通常假设为 0，或者通过初始条件进行设置。
lfilter的特点：支持 IIR 和 FIR 滤波器：
如果 a = [1]，则滤波器是 FIR 滤波器（非递归）。
如果 a ≠ [1]，则滤波器是 IIR 滤波器（递归）。
零相位失真：
lfilter本身会引入相位延迟，如果需要零相位滤波，可以使用scipy.signal.filtfilt。
高效实现：
SciPy 的
lfilter是用 C 语言优化的，速度非常快。
3.lfilter 实现FIR和IIR
scipy.signal.lfilter 是一个通用的线性滤波函数，可以用于实现 IIR 滤波器 和 FIR 滤波器。它的内部实现基于差分方程，通过递归计算来完成滤波。不同阶数的滤波器在 lfilter 中的实现方式有所不同，具体取决于滤波器的类型（IIR 或 FIR）以及阶数。
FIR 滤波器的实现：
- FIR（有限脉冲响应）滤波器的特点是没有反馈，即差分方程中只有输入信号的历史值，没有输出信号的历史值。其差分方程为：
- 其中：
b 是 FIR 滤波器的系数（分子系数）。
Nb 是 FIR 滤波器的阶数（系数的长度减 1）。
实现细节：
FIR 滤波器的实现是非递归的，只需要对输入信号进行加权求和。
lfilter内部会维护一个缓冲区，存储输入信号的历史值 x[n−1],x[n−2],…,x[n−Nb]。