C++二项式定理：原理、实现与应用

发布于：2025-05-16 ⋅ 阅读:(9) ⋅ 点赞:(0)

背景

鉴于复习，问了问清言二项式定理的应用…只好多找些资源…肝要死了…

一、引言

二项式定理是数学中一个基本定理，主要用于展开二项式的幂次。在C++编程中，理解并实现二项式定理及其拓展具有重要意义，可以解决组合数学、概率论、算法分析等多个领域的问题。本报告将详细介绍C++二项式定理的原理、实现方法及其拓展应用。

二、二项式定理的基本原理

二项式定理描述了如何展开(a + b)^n的形式，其中n为非负整数。展开式为：

( a + b ) n = ∑ k = 0 n C ( n , k ) ⋅ a n − k ⋅ b k (a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} C(n,k) \cdot a^{n-k} \cdot b^k (a+b)n=k=0∑n​C(n,k)⋅an−k⋅bk

其中， C ( n , k ) C(n,k) C(n,k)是二项式系数，表示从n个元素中选择k个元素的组合数，计算公式为：

C ( n , k ) = n ! k ! ( n − k ) ! C(n,k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} C(n,k)=k!(n−k)!n!​

二项式系数具有对称性，即 C ( n , k ) = C ( n , n − k ) C(n,k) = C(n,n-k) C(n,k)=C(n,n−k)，这在编程实现时可以用来减少计算量。

三、C++中二项式系数的计算方法

在C++中，我们可以采用多种方法来计算二项式系数。以下介绍几种常见的实现方式。

1.直接计算法

直接计算法通过组合数公式直接计算二项式系数。考虑到 C ( n , k ) = C ( n , n − k ) C(n,k) = C(n,n-k) C(n,k)=C(n,n−k)，我们可以选择计算较小的那个，以减少计算量。

int C(int n, int k){
    if(k > n-k){
        k = n-k;
    }
    int res = 1;
    for(int i = 0; i < k; ++i){
        res *= (n-i);
        res /= (i+1);
    }
    return res;
}

这种方法的时间复杂度为O(k)，空间复杂度为O(1)。它避免了直接计算大数阶乘，从而降低了计算量和溢出风险。

2.动态规划法

动态规划法通过构建杨辉三角来计算二项式系数。杨辉三角的第n行第k个元素即为 C ( n , k ) C(n,k) C(n,k)。

void P(int n){
    vector<vector<int>> triangle(n, vector<int>(n, 0));
    for(int i = 0; i < n; ++i){
        triangle[i][0] = 1;
        triangle[i][i] = 1;
        for(int j = 1; j < i; ++j){
            triangle[i][j] = triangle[i-1][j-1] + triangle[i-1][j];
        }
    }
    for(int i = 0; i < n; ++i){
        for(int j = 0; j <= i; ++j){
            cout << triangle[i][j] << " ";
        }
        cout << "\n";
    }
}

这种方法的时间复杂度为O(n^2) ，空间复杂度为O(n^2)。它适合生成一系列二项式系数，或者需要多次查询不同二项式系数的情况。

3.使用Boost库(Linux下使用)

Boost是一个C++的第三方库，提供了许多实用工具。Boost.Math库提供了二项式系数的计算函数。

#include <boost/math/special_functions/binomial.hpp>
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
int main(void){
	ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(nullptr),cout.tie(nullptr)
    int n,k;
    cin >> n >> k;
    cout << boost::math::binomial_coefficient<int>(n, k) << "\n";
    return 0;
}

这种方法简洁方便，但需要额外安装Boost库。

四、二项式定理的拓展

二项式定理可以拓展到多项式的情况，即多项式定理。

1.多项式定理

多项式定理描述了如何展开 ( a 1 + a 2 + . . . + a k ) n (a_1 + a_2 + ... + a_k)^n (a1​+a2​+...+ak​)n：

( a 1 + a 2 + . . . + a k ) n = ∑ n 1 + n 2 + . . . + n k = n n ! n 1 ! n 2 ! . . . n k ! a 1 n 1 a 2 n 2 . . . a k n k (a_1 + a_2 + ... + a_k)^n = \sum_{n_1+n_2+...+n_k=n} \frac{n!}{n_1!n_2!...n_k!}a_1^{n_1}a_2^{n_2}...a_k^{n_k} (a1​+a2​+...+ak​)n=n1​+n2​+...+nk​=n∑​n1​!n2​!...nk​!n!​a1n1​​a2n2​​...aknk​​

其中， n 1 , n 2 , . . . , n k n_1, n_2, ..., n_k n1​,n2​,...,nk​是非负整数，且满足 n 1 + n 2 + . . . + n k = n n_1+n_2+...+n_k = n n1​+n2​+...+nk​=n。

在C++中，我们可以实现多项式系数的计算：

int f(int n){
    if(n == 0 || n == 1)
        return 1;
    return n * f(n - 1);
}

int mul(int n, vector<int> ep){
    int k = ep.size();
    int sum = 0;
    for(int i = 0; i < k; ++i){
        sum += ep[i];
    }
    if(sum != n){
        return 0;
    }
    int num = f(n);
    int d = 1;
    for(int i = 0; i < k; ++i){
        d *= f(ep[i]);
    }
    return num / d;
}

这个函数计算多项式 ( a + b + c ) 3 (a+b+c)^3 (a+b+c)3中 a 1 b 1 c 1 a^1b^1c^1 a1b1c1项的系数，结果为6。

2.一般化二项式定理

一般化二项式定理将二项式定理扩展到非整数幂的情况：

( 1 + x ) α = ∑ k = 0 ∞ C ( α , k ) x k (1+x)^\alpha = \sum_{k=0}^{\infty} C(\alpha,k)x^k (1+x)α=k=0∑∞​C(α,k)xk

其中， α \alpha α可以是任何实数， C ( α , k ) C(\alpha,k) C(α,k)是一般化二项式系数：

C ( α , k ) = α ( α − 1 ) ( α − 2 ) . . . ( α − k + 1 ) k ! C(\alpha,k) = \frac{\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)...(\alpha-k+1)}{k!} C(α,k)=k!α(α−1)(α−2)...(α−k+1)​

在C++中，我们可以实现一般化二项式系数的计算：

double C(double alpha, int k){
    if(k == 0)  return 1;
    double num = 1;
    for(int i = 0; i < k; ++i){
        num *= (alpha - i);
    }
    double d = 1;
    for(int i = 1; i <= k; ++i){
        d *= i;
    }
    return num / d;
}

五、二项式定理在C++中的应用

二项式定理在C++中有广泛的应用，包括组合数学、概率论、算法分析等多个领域。

1.组合数学应用

在组合数学中，二项式系数用于计算从n个元素中选择k个元素的方式数。

#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;

int C(int n, int k){
    if(k > n-k){
        k = n-k;
    }
    int res = 1;
    for(int i = 0; i < k; ++i){
        res *= (n-i);
        res /= (i+1);
    }
    return res;
}

int main(void){
	ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(nullptr),cout.tie(nullptr);
    int n,k;
    cin >> n >> k;
    cout << C(n, k) << "\n";
    return 0;
}

2.概率论应用

在概率论中，二项式定理用于计算二项分布的概率质量函数。

#include <iostream>
#include <cmath>
#include <algorithm>
using namespace std;

int C(int n, int k){
    if(k > n-k){
        k = n-k;
    }
    int res = 1;
    for(int i = 0; i < k; ++i){
        res *= (n-i);
        res /= (i+1);
    }
    return res;
}

double P(int n, int k, double p){
    return C(n, k)*pow(p, k)*pow(1-p, n-k);
}

int main(void){
	ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(nullptr),cout.tie(nullptr);
    int n,k;
    double p;
    cin >> n >> k >> p;
    cout << P(n, k, p) << "\n";
    return 0;
}

3.算法分析应用

在算法分析中，二项式系数用于计算算法的时间复杂度和空间复杂度，特别是在涉及组合选择的问题中。

#include <iostream>
#include <cmath>
#include <algorithm>
#include <vector>
using namespace std;

vector<int> BC(int n){
    vector<int> num(n + 1, 1);
    for(int i = 1; i < n; ++i){
        for(int j = i; j > 0; --j){
            num[j] += num[j - 1];
        }
    }
    return num;
}

int main(void){
	ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(nullptr),cout.tie(nullptr);
    int n;
    cin >> n;
    vector<int> c = BC(n);
    cout << "(1 + x)^" << n << "的展开式系数：";
    for(int i : c){
        cout << i << " ";
    }
    cout << "\n";
    return 0;
}

4.多项式展开应用

在多项式展开中，二项式定理用于生成多项式的展开式。

#include <iostream>
#include <cmath>
#include <algorithm>
#include <string>
#include <vector>
using namespace std;

int C(int n, int k){
    if(k > n-k){
        k = n-k;
    }
    int res = 1;
    for(int i = 0; i < k; ++i){
        res *= (n-i);
        res /= (i+1);
    }
    return res;
}

string term(int n, int k){
    string res = "";
    if(k == 0){
        return "a^" + to_string(n);
    }else if(k == n){
        return "b^" + to_string(k);
    }else{
        res += to_string(C(n, k)) + "a^";
        res += to_string(n - k) + "b^" + to_string(k);
    }
    return res;
}

void eB(int n){
    string str = "";
    for(int k = 0; k <= n; ++k){
        if(k > 0){
            str += " + ";
        }
        str += term(n, k);
    }
    cout << "(a + b)^" << n << " = " << str << endl;
}

int main(void){
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(nullptr),cout.tie(nullptr);
    int n; cin >> n;
    eB(n);
    return 0;
}

5.生成函数应用

生成函数是研究序列和组合结构的强大工具，二项式定理在其中扮演重要角色。

#include <iostream>
#include <cmath>
#include <algorithm>
#include <vector>
using namespace std;

vector<int> gBC(int n){
    vector<int> c(n + 1, 1);
    for(int i = 1; i < n; ++i){
        for(int j = i; j > 0; --j){
            c[j] += c[j - 1];
        }
    }
    return c;
}

int main(void){
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(nullptr),cout.tie(nullptr);
    int n; cin >> n;
    vector<int> cf = gBC(n);
    cout << "生成函数(1 + x)^" << n << "的系数：";
    for(int i : cf){
        cout << i << " ";
    }
    cout << endl;
    return 0;
}

六、二项式定理的高级应用

二项式定理还有一些高级应用，如多项式拟合、随机数生成等。

1.多项式拟合

基于最小二乘法的多项式拟合是一种常用的数据建模方法。

#include <opencv2/opencv.hpp>
#include <vector>
#include <cmath>
#include <iostream>
using namespace std;
using namespace cv;

void polynomialFit(const vector<double>& x, const vector<double>& y, int dg, vector<double>& cf){
    int n = x.size();
    Mat A(n, dg + 1, CV_64F);
    for(int i = 0; i < n; ++i){
        double xi = x[i];
        for(int j = 0; j <= dg; ++j){
            A.at<double>(i, j) = pow(xi, j);
        }
    }
    Mat ATA = A.t() * A;
    Mat ATb = A.t() * Mat(n, 1, CV_64F, &y[0]);
    Mat coeffs = ATA.inv() * ATb;
    for(int i = 0; i <= dg; ++i){
        cf.push_back(coeffs.at<double>(i, 0));
    }
}

int main(void){
    vector<double> x = {1, 2, 3, 4, 5};
    vector<double> y = {2, 4, 5, 4, 5};
    vector<double> cf;
    polynomialFit(x, y, 2, cf);
    cout << "二次多项式拟合系数：";
    for(double i : cf){
        cout << i << " ";
    }
    cout << endl;
    return 0;
}

2.随机数生成

二项式分布的随机数生成在统计模拟中有重要应用。

#include <iostream>
#include <cmath>
#include <algorithm>
#include <random>
using namespace std;

vector<int> RN(int n, double p, int trials){
    random_device rd;
    mt19937 gen(rd());
    binomial_distribution<int> dist(n, p);
    vector<int> res;
    for(int i = 0; i < trials; ++i){
        res.push_back(dist(gen));
	}
    return res;
}

int main(void){
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(nullptr),cout.tie(nullptr);
    int n = 10;
    double p = 0.5;
    int trials = 1000;
    vector<int> res = RN(n, p, trials);
    cout << "二项式分布随机数生成结果（前10个）：";
    for(int i = 0; i < 10; ++i){
        cout << res[i] << " ";
    }
    cout << "\n";
    return 0;
}

七、二项式定理的优化实现

对于大规模计算，二项式系数的计算需要考虑优化问题。

1.大整数计算

当n和k较大时，二项式系数可能超出标准整数类型的范围，需要使用大整数库。

#include <boost/multiprecision/cpp_int.hpp>
#include <iostream>
#include <cmath>
#include <algorithm>
using namespace std;
using namespace boost::multiprecision;

cpp_int C(int n, int k){
    if(k > n-k){
        k = n-k;
    }
    cpp_int res = 1;
    for(int i = 0; i < k; ++i){
        res *= (n-i);
        res /= (i+1);
    }
    return res;
}

int main(void){
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(nullptr),cout.tie(nullptr);
    int n,k;
    cin >> n >> k;
    cpp_int ans = C(n, k);
    cout << ans << "\n";
    return 0;
}

2.模运算优化

在某些应用中，我们需要计算二项式系数对某个模数取余的结果。

#include <iostream>
#include <cmath>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int p = 1e9+7;

int inverse(int a, int p){
    int m = p, u = 0, v = 1;
    while(a > 0){
        int t = m / a;
        m -= t * a;
        swap(a, m);
        u -= t * v;
        swap(u, v);
    }
    return u < 0 ? u + p : u;
}

int C(int n, int k, int p){
    if(k > n - k){
        k = n - k;
    }
    int res = 1;
    for(int i = 0; i < k; ++i){
        res = res *(n - i) % p;
        res = res * inverse(i + 1, p) % p;
    }
    return res;
}

int main(void){
	ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(nullptr),cout.tie(nullptr);
    int n,k;
    cin >> n >> k;
    cout << C(n, k, p) << endl;
    return 0;
}

八、总结

二项式定理是数学和C++编程中的重要工具，具有广泛的应用。我们了解到二项式定理的基本原理、在C++中的多种实现方法，以及在组合数学、概率论、算法分析等多个领域的应用。

在实际编程中，选择合适的二项式系数计算方法对于程序的效率和准确性至关重要。对于大规模计算，需要考虑整数溢出问题，并采用大整数库或模运算等优化技术。

肝已废，建议收藏长久观看。

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