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NumPy 线性代数（numpy.linalg）
NumPy 线性代数函数依赖于 BLAS 和 LAPACK，以提供标准线性代数算法的高效底层实现。这些库可能由 NumPy 自身使用其参考实现的 C 版本提供，但在可能的情况下，更倾向于使用能够利用专门处理器功能的高度优化库。此类库的示例包括 OpenBLAS、MKL™ 和 ATLAS。由于这些库是多线程的，并且依赖于处理器，因此可能需要环境变量和外部包（例如 threadpoolctl）来控制线程数量或指定处理器架构。
SciPy 库也包含一个 linalg 子模块，并且 SciPy 和 NumPy 子模块提供的功能存在重叠。SciPy 包含一些在 numpy.linalg 中找不到的函数，例如与 LU 分解和 Schur 分解相关的函数、计算伪逆的多种方法以及矩阵超越函数（如矩阵对数）。在两个库中都存在的某些函数，在 scipy.linalg 中具有增强的功能。例如，scipy.linalg.eig 可以接受第二个矩阵参数，用于求解广义特征值问题。然而，NumPy 中的某些函数具有更灵活的广播选项。例如，numpy.linalg.solve 可以处理“堆叠”数组，而 scipy.linalg.solve 只接受单个方阵作为其第一个参数。
注意：本页中提到的“矩阵”是指一个 2D numpy.array 对象，而不是一个 numpy.matrix 对象。后者即使在线性代数中也不再推荐使用。更多详细信息，请参阅 矩阵对象文档。
@ 运算符
在 NumPy 1.10.0 中引入的 @ 运算符是计算两个二维数组之间矩阵乘积的首选方法。numpy.matmul 函数实现了 @ 运算符。
矩阵和向量乘积
| 函数 | 描述 |
|---|---|
dot(a, b[, out]) |
两个数组的点积 |
linalg.multi_dot(arrays[, out]) |
在单个函数调用中计算两个或多个数组的点积，同时自动选择最快的求值顺序 |
vdot(a, b, /) |
返回两个向量的点积 |
vecdot(x1, x2, /[, out, casting, order, ...]) |
两个数组的向量点积 |
linalg.vecdot(x1, x2, /[, axis]) |
计算向量点积 |
inner(a, b, /) |
两个数组的内积 |
outer(a, b[, out]) |
计算两个向量的外积 |
matmul(x1, x2, /[, out, casting, order, ...]) |
两个数组的矩阵乘积 |
linalg.matmul(x1, x2, /) |
计算矩阵乘积 |
matvec(x1, x2, /[, out, casting, order, ...]) |
两个数组的矩阵 - 向量点积 |
vecmat(x1, x2, /[, out, casting, order, ...]) |
两个数组的向量 - 矩阵点积 |
tensordot(a, b[, axes]) |
沿指定轴计算张量点积 |
linalg.tensordot(x1, x2, /[, axes]) |
沿指定轴计算张量点积 |
einsum(subscripts, *operands[, out, dtype, ...]) |
对操作数评估爱因斯坦求和约定 |
einsum_path(subscripts, *operands[, optimize]) |
通过考虑中间数组的创建，评估 einsum 表达式的最低成本收缩顺序 |
linalg.matrix_power(a, n) |
将方阵提升到整数次幂 n |
kron(a, b) |
两个数组的克罗内克积 |
linalg.cross(x1, x2, /[, axis]) |
返回 3 元素向量的叉积 |
分解
| 函数 | 描述 |
|---|---|
linalg.cholesky(a[, /, upper]) |
Cholesky 分解 |
linalg.qr(a[, mode]) |
计算矩阵的 QR 分解 |
linalg.svd(a[, full_matrices, compute_uv, ...]) |
奇异值分解 |
linalg.svdvals(x, /) |
返回矩阵（或矩阵堆叠）x 的奇异值 |
矩阵特征值
| 函数 | 描述 |
|---|---|
linalg.eig(a) |
计算方阵的特征值和右特征向量 |
linalg.eigh(a[, UPLO]) |
返回复数厄米特（共轭对称）或实对称矩阵的特征值和特征向量 |
linalg.eigvals(a) |
计算一般矩阵的特征值 |
linalg.eigvalsh(a[, UPLO]) |
计算复数厄米特或实对称矩阵的特征值 |
范数和其他数字
| 函数 | 描述 |
|---|---|
linalg.norm(x[, ord, axis, keepdims]) |
矩阵或向量范数 |
linalg.matrix_norm(x, /[, keepdims, ord]) |
计算矩阵（或矩阵堆叠）x 的矩阵范数 |
linalg.vector_norm(x, /[, axis, ...]) |
计算向量（或向量批次）x 的向量范数 |
linalg.cond(x[, p]) |
计算矩阵的条件数 |
linalg.det(a) |
计算数组的行列式 |
linalg.matrix_rank(A[, tol, hermitian, rtol]) |
使用 SVD 方法返回数组的矩阵秩 |
linalg.slogdet(a) |
计算数组的行列式的符号和（自然）对数 |
trace(a[, offset, axis1, axis2, dtype, out]) |
返回数组的对角线和 |
linalg.trace(x, /[, offset, dtype]) |
返回矩阵（或矩阵堆叠）x 的指定对角线和 |
解方程和矩阵求逆
| 函数 | 描述 |
|---|---|
linalg.solve(a, b) |
解线性矩阵方程，或线性标量方程组 |
linalg.tensorsolve(a, b[, axes]) |
解张量方程 a x = b 求 x |
linalg.lstsq(a, b[, rcond]) |
返回线性矩阵方程的最小二乘解 |
linalg.inv(a) |
计算矩阵的逆 |
linalg.pinv(a[, rcond, hermitian, rtol]) |
计算矩阵的（Moore-Penrose）伪逆 |
linalg.tensorinv(a[, ind]) |
计算 N 维数组的“逆” |
其他矩阵运算
| 函数 | 描述 |
|---|---|
diagonal(a[, offset, axis1, axis2]) |
返回指定对角线 |
linalg.diagonal(x, /[, offset]) |
返回矩阵（或矩阵堆叠）x 的指定对角线 |
linalg.matrix_transpose(x, /) |
转置矩阵（或矩阵堆叠）x |
异常
| 异常 | 描述 |
|---|---|
linalg.LinAlgError |
由线性代数函数引发的通用 Python 异常 |
多个矩阵上的线性代数运算
多个线性代数例程能够同时对多个矩阵进行计算，如果这些矩阵被堆叠到同一个数组中。
这在文档中通过输入参数说明来表示，例如 a : (..., M, M) array_like。这意味着，如果给定一个输入数组 a.shape == (N, M, M)，它将被解释为一个“堆叠”的 N 个矩阵，每个矩阵的大小为 M×M。类似的说明也适用于返回值，例如行列式有 det : (...)，在这种情况下，它将返回一个形状为 det(a).shape == (N,) 的数组。这可以推广到更高维数组上的线性代数运算：多维数组的最后 1 个或 2 个维度被解释为向量或矩阵，具体取决于每个运算。
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