从代数到几何：向量点乘与叉乘的定义、推导及几何意义

注：本文为“向量点乘与叉乘”相关文章合辑。

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向量点乘(内积)和叉乘(外积、向量积)概念及几何意义解读

-牧野- 于 2016-09-02 20:50:34 发布

一、向量基础概念

向量是由 $n$ 个实数组成的一个 $n$ 行 1 列（$n\times 1$）或一个 1 行 $n$ 列（$1\times n$）的有序数组。

二、向量点乘（内积、数量积）

2.1 点乘定义

对两个向量执行点乘运算，就是对这两个向量对应位一一相乘之后求和的操作，点乘的结果是一个标量。

2.2 点乘公式

对于向量 $\mathbf{a}=[a_1,a_2,\dots ,a_n]$ 和向量 $\mathbf{b}=[b_1,b_2,\dots ,b_n]$，
点积公式为：
$$\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=a_1{b}_1+a_2{b}_2+\cdots +a_n{b}_n$$
要求：一维向量 $\mathbf{a}$ 和 $\mathbf{b}$ 的行列数相同。

2.3 点乘几何意义

点乘的几何意义是表征或计算两个向量之间的夹角，以及向量 $\mathbf{b}$ 在向量 $\mathbf{a}$ 方向上的投影。

公式为：
$$\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=|\mathbf{a}||\mathbf{b}|\cos \theta$$

推导过程

1. 定义向量 $\mathbf{c}=\mathbf{a}-\mathbf{b}$，根据三角形余弦定理：
   $${\mathbf{c}}^2={\mathbf{a}}^2+{\mathbf{b}}^2-2|\mathbf{a}||\mathbf{b}|\cos \theta$$
2. 由向量运算 $\mathbf{c}=\mathbf{a}-\mathbf{b}$，可得：
   $$(\mathbf{a}-\mathbf{b})\cdot (\mathbf{a}-\mathbf{b})=\mathbf{a}\cdot \mathbf{a}+\mathbf{b}\cdot \mathbf{b}-2\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}={\mathbf{a}}^2+{\mathbf{b}}^2-2\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}$$
3. 结合上述两式得：
   $${\mathbf{a}}^2+{\mathbf{b}}^2-2\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}={\mathbf{a}}^2+{\mathbf{b}}^2-2|\mathbf{a}||\mathbf{b}|\cos \theta$$
   化简后即得：
   $$\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=|\mathbf{a}||\mathbf{b}|\cos \theta$$
   向量 $\mathbf{a}$，$\mathbf{b}$ 的长度都是可以计算的已知量，从而有 $\mathbf{a}$ 和 $\mathbf{b}$ 间的夹角 $\theta$：
   利用公式
   $$\theta =\arccos \left(\frac{\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}}{|\mathbf{a}||\mathbf{b}|}\right)$$
   可确定向量 $\mathbf{a}$ 与 $\mathbf{b}$ 的夹角 $\theta$（其中 $0^{\circ }\le \theta \le 180^{\circ }$）及方向关系：

• $\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}>0$：夹角 $0^{\circ }\le \theta <90^{\circ }$（或 $0\le \theta <\frac{\pi }{2}$），方向具有正相关性；
• $\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=0$：夹角 $90^{\circ }$（或 $\frac{\pi }{2}$），两向量正交（垂直）；
• $\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}<0$：夹角 $90^{\circ }<\theta \le 180^{\circ }$（或 $\frac{\pi }{2}<\theta \le \pi$），方向具有负相关性。

补充说明：如果 $\mathbf{a}$ 或 $\mathbf{b}$ 中至少有一个是零向量，则该公式不适用。通常约定，零向量与任何向量的夹角都是任意的。

三、向量叉乘（外积、向量积）

3.1 叉乘定义

两个向量的叉乘运算结果是一个向量，且该向量与这两个向量组成的坐标平面垂直。

3.2 叉乘公式

对于三维向量 $\mathbf{a}=(x_1,y_1,z_1)$ 和 $\mathbf{b}=(x_2,y_2,z_2)$，
叉乘公式为：
$$\mathbf{a}\times \mathbf{b}=\left|\begin{array}{ccc}\mathbf{i}& \mathbf{j}& \mathbf{k}\\ x_1& y_1& z_1\\ x_2& y_2& z_2\end{array}\right|=(y_1{z}_2-y_2{z}_1)\mathbf{i}-(x_1{z}_2-x_2{z}_1)\mathbf{j}+(x_1{y}_2-x_2{y}_1)\mathbf{k}$$
其中，$\mathbf{i}=(1,0,0)$，$\mathbf{j}=(0,1,0)$，$\mathbf{k}=(0,0,1)$ 为单位向量。

叉乘结果也可表示为坐标形式：
$$\mathbf{a}\times \mathbf{b}=(y_1{z}_2-y_2{z}_1,-(x_1{z}_2-x_2{z}_1),x_1{y}_2-x_2{y}_1)$$

3.3 叉乘几何意义

1. 三维空间：
   叉乘结果是垂直于 $\mathbf{a}$ 和 $\mathbf{b}$ 构成平面的法向量，常用于构建三维坐标系（如 X、Y、Z 轴）。

   • 性质：$\mathbf{b}\times \mathbf{a}=-\mathbf{a}\times \mathbf{b}$（叉乘结果方向相反）。

2. 二维空间：
   叉乘的绝对值等于由向量 $\mathbf{a}$ 和 $\mathbf{b}$ 构成的平行四边形的面积，即：
   $$|\mathbf{a}\times \mathbf{b}|=\text{平行四边形面积}$$

向量叉乘

Sunomg 于 2017-04-19 15:00:02 发布

一、向量叉乘公式及推导

对于三维向量 $\mathbf{a}=(x_1,y_1,z_1)$ 和 $\mathbf{b}=(x_2,y_2,z_2)$，
$\mathbf{i}=(1,0,0)$、$\mathbf{j}=(0,1,0)$、$\mathbf{k}=(0,0,1)$ 为三维空间的标准正交基向量；

叉乘公式通过行列式展开计算：
$$\begin{array}{rl}\mathbf{a}\times \mathbf{b}& =\left|\begin{array}{ccc}\mathbf{i}& \mathbf{j}& \mathbf{k}\\ x_1& y_1& z_1\\ x_2& y_2& z_2\end{array}\right|\\ & =\mathbf{i}(y_1{z}_2-y_2{z}_1)-\mathbf{j}(x_1{z}_2-x_2{z}_1)+\mathbf{k}(x_1{y}_2-x_2{y}_1)\\ & =(y_1{z}_2-y_2{z}_1,-(x_1{z}_2-x_2{z}_1),x_1{y}_2-x_2{y}_1)\end{array}$$

说明：

• 行列式展开时遵循“对角线法则”，符号由基向量的排列顺序决定（如 $\mathbf{j}$ 分量前带负号）。

二、向量叉乘的几何意义

1. 三维空间特性
   叉乘结果 $\mathbf{a}\times \mathbf{b}$ 是一个法向量，满足：
   • 垂直于 $\mathbf{a}$ 和 $\mathbf{b}$ 构成的平面；
   • 方向由右手定则确定：右手四指从 $\mathbf{a}$ 转向 $\mathbf{b}$（小于 $180^{\circ }$ 的夹角），拇指方向即为叉乘向量方向。
   • 反交换律：$\mathbf{b}\times \mathbf{a}=-\mathbf{a}\times \mathbf{b}$（方向相反）。

2. 模长的几何含义
   叉乘向量的模长等于以 $\mathbf{a}$ 和 $\mathbf{b}$ 为邻边的平行四边形面积：
   $$|\mathbf{a}\times \mathbf{b}|=|\mathbf{a}|\cdot |\mathbf{b}|\cdot \sin \theta (\theta \text{ 为两向量夹角})$$

三、向量叉乘的应用

3.1 三维模型中法向量计算

通过三角面的两条邻边向量（如 $\overrightarrow{AB}$ 和 $\overrightarrow{AC}$）叉乘，可得到垂直于该三角面的法向量，用于光照计算、网格渲染等场景。

3.2 判断向量顺逆关系（二维场景）

设向量 $\mathbf{P}=(x_p,y_p)$，$\mathbf{Q}=(x_q,y_q)$，计算叉积（二维可视为三维 $z$ 分量为 0 的特例）：
$$\mathbf{P}\times \mathbf{Q}=x_p{y}_q-x_q{y}_p$$

• 若 $\mathbf{P}\times \mathbf{Q}>0$：$\mathbf{P}$ 在 $\mathbf{Q}$ 的逆时针方向（绕原点）；
• 若 $\mathbf{P}\times \mathbf{Q}<0$：$\mathbf{P}$ 在 $\mathbf{Q}$ 的顺时针方向；
• 若 $\mathbf{P}\times \mathbf{Q}=0$：$\mathbf{P}$ 与 $\mathbf{Q}$ 共线。

3.3 凸多边形与凹多边形判断

对多边形的每条边 ${\mathbf{e}}_i$ 和 ${\mathbf{e}}_{i+1}$ 构成的向量进行叉积计算：

• 若所有叉积结果同号（均 > 0 或均 < 0）：多边形为凸多边形；
• 若存在叉积结果异号：多边形为凹多边形；
• 若所有叉积结果均为 0：多边形顶点共线（退化为线段）。

3.4 判断点与直线的位置关系

在直线上取两点 $A(x_1,y_1)$、$B(x_2,y_2)$，待判断点 $P(x_0,y_0)$，构造向量：
$$\overrightarrow{AB}=(x_2-x_1,y_2-y_1),\overrightarrow{AP}=(x_0-x_1,y_0-y_1)$$
计算叉积：
$$\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AP}=(x_2-x_1)(y_0-y_1)-(y_2-y_1)(x_0-x_1)$$

• 若结果 = 0：点 $P$ 在直线 $AB$ 上；
• 若结果 > 0：点 $P$ 在直线 $AB$ 的一侧（由叉积符号决定具体方向）；
• 若结果 < 0：点 $P$ 在直线 $AB$ 的另一侧。

3.5 点与矩形的位置关系判断（需结合坐标范围）

通过叉乘判断点是否在矩形各边的内侧，或直接比较点坐标与矩形边界的范围（更高效）。

说明：

• 原文中“叉积和”表述易混淆，已修正为“叉积的标量结果”或“叉积分量”；
• 公式中的排版错误（如 $y_1{z}_{2-}$）已修正为标准下标格式 $y_1{z}_2-y_2{z}_1$；
• 二维场景下的叉乘可视为三维叉乘在 $z=0$ 平面的投影，结果的符号反映旋转方向。

向量点乘与叉乘的概念及几何意义

作者：Plane 老师 编辑时间：2022-07-08 23:23

一、向量点乘（内积）

1.1 定义与公式

点乘（Dot Product），又称数量积或标量积（Scalar Product），其结果为标量。

代数定义：

对于空间向量 $\vec{a}=(x_1,y_1,z_1)$ 和 $\vec{b}=(x_2,y_2,z_2)$，点乘运算为对应分量乘积之和：
$$\vec{a}\cdot \vec{b}=x_1{x}_2+y_1{y}_2+z_1{z}_2$$

几何定义：

点乘等于两向量的模长与夹角余弦值的乘积：
$$\vec{a}\cdot \vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos \theta$$
其中 $\theta$ 为 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角。

1.2 几何意义

点乘结果表示 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 方向上的投影与 $|\vec{b}|$ 的乘积，反映两向量的方向相似度。根据结果符号可判断向量关系：

1. $\vec{a}\cdot \vec{b}>0$：方向基本相同，夹角 $0^{\circ }<\theta <90^{\circ }$；
2. $\vec{a}\cdot \vec{b}=0$：两向量正交（垂直）；
3. $\vec{a}\cdot \vec{b}<0$：方向基本相反，夹角 $90^{\circ }<\theta <180^{\circ }$。

示意图：

1.3 代数定义推导几何定义（夹角公式推导）

设定：

• 向量 $\vec{a}$ 终点为 $A(x_1,y_1,z_1)$，$\vec{b}$ 终点为 $B(x_2,y_2,z_2)$，原点为 $O$；
• 向量 $\overrightarrow{AB}=(x_2-x_1,y_2-y_1,z_2-z_1)$。

推导过程：

1. 在 $△OAB$ 中，由余弦定理：
   $$|\overrightarrow{AB}{|}^2=|\vec{a}{|}^2+|\vec{b}{|}^2-2|\vec{a}||\vec{b}|\cos \theta$$
2. 代入距离公式 $|\overrightarrow{AB}{|}^2=(x_2-x_1{)}^2+(y_2-y_1{)}^2+(z_2-z_1{)}^2$，展开并整理得：
   $$|\vec{a}||\vec{b}|\cos \theta =\frac{x_1^2+y_1^2+z_1^2+x_2^2+y_2^2+z_2^2-[(x_2-x_1{)}^2+(y_2-y_1{)}^2+(z_2-z_1{)}^2]}{2}$$
3. 去括号化简后：
   $$|\vec{a}||\vec{b}|\cos \theta =x_1{x}_2+y_1{y}_2+z_1{z}_2=\vec{a}\cdot \vec{b}$$
   夹角公式：
   $$\theta =\arccos \left(\frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}\right)$$

二、向量叉乘（外积）

2.1 定义与公式

叉乘（Cross Product），又称向量积（Vector Product），其结果为向量，且与原向量所在平面垂直。

代数定义（三维向量）：
对于向量 $\vec{a}=(x_1,y_1,z_1)$ 和 $\vec{b}=(x_2,y_2,z_2)$，叉乘可通过行列式计算：
$$\vec{a}\times \vec{b}=\left|\begin{array}{ccc}\vec{i}& \vec{j}& \vec{k}\\ x_1& y_1& z_1\\ x_2& y_2& z_2\end{array}\right|=(y_1{z}_2-z_1{y}_2,z_1{x}_2-x_1{z}_2,x_1{y}_2-y_1{x}_2)$$
其中 $\vec{i},\vec{j},\vec{k}$ 为三维单位正交基向量。

几何定义：
叉乘结果为垂直于 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$ 的法向量，其模长与方向满足：
$$\vec{a}\times \vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\sin \theta \cdot \vec{n}$$

• $\vec{n}$ 为 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$ 所在平面的单位法向量；
• 方向由右手定则确定：右手四指从 $\vec{a}$ 转向 $\vec{b}$（夹角 $<180^{\circ }$），拇指方向即为叉乘向量方向。

示意图：

2.2 几何意义

1. 模长的几何含义：
   叉乘向量的模长等于以 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$ 为邻边的平行四边形面积：
   $$|\vec{a}\times \vec{b}|=|\vec{a}||\vec{b}|\sin \theta$$
2. 方向的几何含义：
   结果向量是 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$ 所在平面的法线向量，常用于三维空间中法向量的计算（如平面方程、光照模型等）。

示意图：

via：

• 向量点乘（内积）和叉乘（外积、向量积）概念及几何意义解读-CSDN博客
  https://blog.csdn.net/dcrmg/article/details/52416832
• 向量叉乘与应用-CSDN博客
  https://blog.csdn.net/Sunomg/article/details/70240886
• 带你一次搞懂点积（内积）、叉积（外积）-CSDN博客
  https://blog.csdn.net/apr15/article/details/106160407
• 向量点乘与叉乘的概念及几何意义 - 知乎
  https://zhuanlan.zhihu.com/p/359975221
  —
• 向量运算详解-CSDN博客
  https://blog.csdn.net/qq_38182397/article/details/80508303
• 点积与叉积详解-CSDN博客
  https://blog.csdn.net/itworld123/article/details/79083587
• 【数学计算】点乘/点积/内积/数量积/叉乘/外积/叉积/向量积-CSDN博客
  https://blog.csdn.net/baidu_35692628/article/details/128460826
  —
• 【数学计算】判断两条线段是否相交+计算两条线段的交点和夹角_判断两线段是否相交,并求交点-CSDN博客
  https://blog.csdn.net/baidu_35692628/article/details/127201071