C/C++ OpenCV 矩阵运算

C/C++ OpenCV 矩阵运算详解 💡

OpenCV 是一个强大的开源计算机视觉和机器学习库，它提供了丰富的矩阵运算功能，这对于图像处理和计算机视觉算法至关重要。本文将详细介绍如何使用 C/C++ 和 OpenCV 进行常见的矩阵运算。

矩阵的创建与初始化

在进行矩阵运算之前，我们首先需要知道如何创建和初始化矩阵。OpenCV 提供了 cv::Mat 类来处理矩阵。

创建矩阵

有多种方法可以创建 cv::Mat 对象：

• 使用构造函数：可以指定行数、列数、数据类型以及可选的初始值。

  #include <opencv2/opencv.hpp>
  #include <iostream>
  
  int main() {
      // 创建一个 3x3 的浮点型矩阵，所有元素初始化为 0
      cv::Mat matrix1 = cv::Mat::zeros(3, 3, CV_32F);
      std::cout << "Matrix1:\n" << matrix1 << std::endl;
  
      // 创建一个 2x4 的整型矩阵，所有元素初始化为 1
      cv::Mat matrix2 = cv::Mat::ones(2, 4, CV_8UC1); // 8位无符号单通道
      std::cout << "Matrix2:\n" << matrix2 << std::endl;
  
      // 创建一个具有特定尺寸和类型的矩阵，不初始化
      cv::Mat matrix3(4, 2, CV_64FC3); // 64位浮点型三通道
  
      // 使用 Scalar 初始化
      cv::Mat matrix4 = cv::Mat(3, 3, CV_32F, cv::Scalar(5.0));
      std::cout << "Matrix4:\n" << matrix4 << std::endl;
  
      // 通过 C/C++ 数组创建
      double data[] = {1, 2, 3, 4, 5, 6};
      cv::Mat matrix5 = cv::Mat(2, 3, CV_64F, data);
      std::cout << "Matrix5:\n" << matrix5 << std::endl;
  
      return 0;
  }
  

• cv::Mat::create() 方法：如果矩阵已经存在，此方法会重新分配内存（如果需要）。

  cv::Mat matrix;
  matrix.create(4, 4, CV_32F);
  

• cv::Mat::eye() 方法：创建单位矩阵。

  cv::Mat identityMatrix = cv::Mat::eye(3, 3, CV_64F);
  std::cout << "Identity Matrix:\n" << identityMatrix << std::endl;
  

访问矩阵元素

可以使用 at() 方法或者直接通过指针访问矩阵元素。at() 方法更安全，因为它会进行边界检查。

#include <opencv2/opencv.hpp>
#include <iostream>

int main() {
    cv::Mat matrix = (cv::Mat_<double>(3,3) << 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9);
    std::cout << "Original Matrix:\n" << matrix << std::endl;

    // 使用 at() 方法访问和修改元素
    double& elem = matrix.at<double>(0, 0); // 获取 (0,0) 处的元素引用
    elem = 100.0;
    std::cout << "Modified Matrix (at()):\n" << matrix << std::endl;

    // 直接通过指针访问 (效率更高，但不安全)
    // 注意：需要确保数据类型匹配
    double* p = matrix.ptr<double>(1); // 获取第二行的指针
    p[1] = 200.0; // 修改第二行第二列的元素 (1,1)
    std::cout << "Modified Matrix (ptr):\n" << matrix << std::endl;

    return 0;
}

基本的算术运算 ➕➖✖️➗

OpenCV 支持对矩阵进行各种基本的算术运算。这些运算可以是矩阵与标量之间的运算，也可以是矩阵与矩阵之间的运算。

矩阵与标量运算

可以直接使用标准的算术运算符：

#include <opencv2/opencv.hpp>
#include <iostream>

int main() {
    cv::Mat matrixA = (cv::Mat_<double>(2,2) << 1, 2, 3, 4);
    double scalar = 5.0;
    cv::Mat result;

    // 加法
    result = matrixA + scalar;
    std::cout << "MatrixA + Scalar:\n" << result << std::endl;

    // 减法
    result = matrixA - scalar;
    std::cout << "MatrixA - Scalar:\n" << result << std::endl;
    result = scalar - matrixA;
    std::cout << "Scalar - MatrixA:\n" << result << std::endl;

    // 乘法
    result = matrixA * scalar;
    std::cout << "MatrixA * Scalar:\n" << result << std::endl;

    // 除法
    result = matrixA / scalar;
    std::cout << "MatrixA / Scalar:\n" << result << std::endl;

    return 0;
}

矩阵与矩阵运算 (逐元素)

对于加法、减法和逐元素的乘法、除法，可以使用重载的运算符或 OpenCV 提供的函数。

• 加法 (+ 或 cv::add())
• 减法 (- 或 cv::subtract())
• 逐元素乘法 (cv::multiply())
• 逐元素除法 (cv::divide())

#include <opencv2/opencv.hpp>
#include <iostream>

int main() {
    cv::Mat matrixA = (cv::Mat_<double>(2,2) << 1, 2, 3, 4);
    cv::Mat matrixB = (cv::Mat_<double>(2,2) << 5, 6, 7, 8);
    cv::Mat result;

    // 加法
    result = matrixA + matrixB;
    // 或者 cv::add(matrixA, matrixB, result);
    std::cout << "MatrixA + MatrixB:\n" << result << std::endl;

    // 减法
    result = matrixA - matrixB;
    // 或者 cv::subtract(matrixA, matrixB, result);
    std::cout << "MatrixA - MatrixB:\n" << result << std::endl;

    // 逐元素乘法
    cv::multiply(matrixA, matrixB, result);
    // 注意： matrixA * matrixB 是矩阵乘法，而不是逐元素乘法
    std::cout << "Element-wise multiplication (A .* B):\n" << result << std::endl;

    // 逐元素除法
    cv::divide(matrixA, matrixB, result);
    std::cout << "Element-wise division (A ./ B):\n" << result << std::endl;

    return 0;
}

矩阵乘法 (标准线性代数乘法)

使用 * 运算符可以执行标准的矩阵乘法 (m x n 矩阵乘以 n x p 矩阵得到 m x p 矩阵)。或者使用 cv::gemm() 函数 (通用矩阵乘法)。

#include <opencv2/opencv.hpp>
#include <iostream>

int main() {
    cv::Mat matrixA = (cv::Mat_<double>(2,3) << 1, 2, 3, 4, 5, 6);
    cv::Mat matrixB = (cv::Mat_<double>(3,2) << 7, 8, 9, 10, 11, 12);
    cv::Mat result;

    // 矩阵乘法
    result = matrixA * matrixB;
    std::cout << "MatrixA * MatrixB (Matrix Multiplication):\n" << result << std::endl;

    // 使用 cv::gemm()
    // gemm(src1, src2, alpha, src3, beta, dst, flags)
    // dst = alpha*src1*src2 + beta*src3
    cv::Mat matrixC = cv::Mat::zeros(2, 2, CV_64F);
    cv::gemm(matrixA, matrixB, 1.0, cv::Mat(), 0.0, result, 0); // result = 1.0 * matrixA * matrixB
    std::cout << "MatrixA * MatrixB (using gemm):\n" << result << std::endl;


    return 0;
}

注意: 参与矩阵乘法的两个矩阵的维度必须兼容 (第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数)。

其他重要的矩阵运算 ⚙️

OpenCV 还提供了许多其他有用的矩阵运算函数。

转置 (cv::transpose() 或 Mat::t())

#include <opencv2/opencv.hpp>
#include <iostream>

int main() {
    cv::Mat matrixA = (cv::Mat_<double>(2,3) << 1, 2, 3, 4, 5, 6);
    cv::Mat transposedMatrix;

    cv::transpose(matrixA, transposedMatrix);
    // 或者 transposedMatrix = matrixA.t();
    std::cout << "Original MatrixA:\n" << matrixA << std::endl;
    std::cout << "Transposed MatrixA:\n" << transposedMatrix << std::endl;

    return 0;
}

逆矩阵 (cv::invert() 或 Mat::inv())

只有方阵且非奇异矩阵（行列式不为零）才有逆矩阵。

#include <opencv2/opencv.hpp>
#include <iostream>

int main() {
    cv::Mat matrixA = (cv::Mat_<double>(2,2) << 4, 7, 2, 6);
    cv::Mat inverseMatrix;

    // method 可以是 DECOMP_LU, DECOMP_SVD, DECOMP_CHOLESKY (对于对称正定矩阵)
    double det = cv::determinant(matrixA);
    if (det != 0) {
        cv::invert(matrixA, inverseMatrix, cv::DECOMP_LU);
        // 或者 inverseMatrix = matrixA.inv(cv::DECOMP_LU);
        std::cout << "Original MatrixA:\n" << matrixA << std::endl;
        std::cout << "Inverse MatrixA:\n" << inverseMatrix << std::endl;

        // 验证 A * A_inv = I
        std::cout << "A * A_inv:\n" << matrixA * inverseMatrix << std::endl;
    } else {
        std::cout << "MatrixA is singular, cannot compute inverse." << std::endl;
    }

    return 0;
}

行列式 (cv::determinant())

计算方阵的行列式。

#include <opencv2/opencv.hpp>
#include <iostream>

int main() {
    cv::Mat matrixA = (cv::Mat_<double>(3,3) << 1, 2, 3, 0, 1, 4, 5, 6, 0);
    double det = cv::determinant(matrixA);
    std::cout << "MatrixA:\n" << matrixA << std::endl;
    std::cout << "Determinant of MatrixA: " << det << std::endl;

    return 0;
}

迹 (cv::trace())

计算方阵的迹（主对角线元素之和）。

#include <opencv2/opencv.hpp>
#include <iostream>

int main() {
    cv::Mat matrixA = (cv::Mat_<double>(3,3) << 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9);
    cv::Scalar traceValue = cv::trace(matrixA);
    std::cout << "MatrixA:\n" << matrixA << std::endl;
    std::cout << "Trace of MatrixA: " << traceValue[0] << std::endl; // trace返回一个Scalar

    return 0;
}

范数 (cv::norm())

计算矩阵的范数（例如 L1 范数、L2 范数、无穷范数）。

#include <opencv2/opencv.hpp>
#include <iostream>

int main() {
    cv::Mat matrixA = (cv::Mat_<double>(1,3) << 3, -4, 0); // 也可以是多维矩阵

    double normL1 = cv::norm(matrixA, cv::NORM_L1);
    double normL2 = cv::norm(matrixA, cv::NORM_L2);
    double normInf = cv::norm(matrixA, cv::NORM_INF);

    std::cout << "MatrixA: " << matrixA << std::endl;
    std::cout << "L1 Norm: " << normL1 << std::endl;   // |3| + |-4| + |0| = 7
    std::cout << "L2 Norm: " << normL2 << std::endl;   // sqrt(3^2 + (-4)^2 + 0^2) = 5
    std::cout << "Infinity Norm: " << normInf << std::endl; // max(|3|, |-4|, |0|) = 4

    cv::Mat matrixB = (cv::Mat_<double>(2,2) << 1, 2, 3, 4);
    double frobeniusNorm = cv::norm(matrixB, cv::NORM_L2); // 对于矩阵，NORM_L2 是 Frobenius 范数
    std::cout << "MatrixB:\n" << matrixB << std::endl;
    std::cout << "Frobenius Norm of MatrixB: " << frobeniusNorm << std::endl;


    return 0;
}

矩阵操作 🛠️

改变形状 (Mat::reshape())

在不改变数据的情况下改变矩阵的维度。

#include <opencv2/opencv.hpp>
#include <iostream>

int main() {
    cv::Mat matrixA = (cv::Mat_<double>(2,3) << 1, 2, 3, 4, 5, 6);
    std::cout << "Original MatrixA (2x3):\n" << matrixA << std::endl;

    // 改变为一个通道，3行 (列数自动计算)
    cv::Mat reshaped1 = matrixA.reshape(1, 3);
    std::cout << "Reshaped to 3 rows (1 channel):\n" << reshaped1 << std::endl;
    std::cout << "Reshaped1 channels: " << reshaped1.channels() << ", rows: " << reshaped1.rows << ", cols: " << reshaped1.cols << std::endl;


    // 改变为 3 通道，2 行 (假设原始数据可以这样组织)
    // 注意：reshape(cn, rows) cn是新的通道数
    // 原始矩阵是单通道，6个元素。如果reshape(3, 2)，则变成2行1列，3通道。
    // (1,2,3) 像素1
    // (4,5,6) 像素2
    cv::Mat matrixB = cv::Mat::arange(1, 7).reshape(1, 2); // 2行3列，单通道
    matrixB = matrixB.reshape(3, 2); // 2行1列，3通道
    std::cout << "Original MatrixB (2x3, 1 channel then reshaped to 2x1, 3 channels):\n" << matrixB << std::endl;
    std::cout << "MatrixB value at (0,0) Ch0: " << matrixB.at<cv::Vec3b>(0,0)[0] << std::endl; // 假设是 CV_8UC3
                                                                                              // arange 默认是 CV_32S
    cv::Mat matrixC = (cv::Mat_<int>(1,6) << 1,2,3,4,5,6);
    std::cout << "Original MatrixC (1x6, 1 channel):\n" << matrixC << std::endl;
    cv::Mat reshapedC = matrixC.reshape(3, 2); // 2行1列，3通道
    std::cout << "ReshapedC (2x1, 3 channels):\n" << reshapedC << std::endl;
    // 访问 reshapedC.at<cv::Vec3i>(0,0)[0] 等

    return 0;
}

注意: reshape() 不会复制数据。新的矩阵头指向原始数据。

合并与拼接 (cv::hconcat(), cv::vconcat())

• cv::hconcat(): 水平拼接矩阵 (列数增加)
• cv::vconcat(): 垂直拼接矩阵 (行数增加)

#include <opencv2/opencv.hpp>
#include <iostream>

int main() {
    cv::Mat matrixA = cv::Mat::ones(2, 2, CV_64F);
    cv::Mat matrixB = cv::Mat::zeros(2, 2, CV_64F);
    cv::Mat matrixC = cv::Mat::eye(2, 2, CV_64F) * 2;

    cv::Mat horizontalConcat;
    cv::hconcat(matrixA, matrixB, horizontalConcat); // 可以传递多个矩阵
    cv::hconcat(horizontalConcat, matrixC, horizontalConcat);
    std::cout << "Horizontal Concatenation:\n" << horizontalConcat << std::endl;

    cv::Mat matrixD = cv::Mat::ones(2, 2, CV_64F) * 3;
    cv::Mat matrixE = cv::Mat::ones(2, 2, CV_64F) * 4;
    cv::Mat verticalConcat;
    std::vector<cv::Mat> matrices_to_stack = {matrixD, matrixE};
    cv::vconcat(matrices_to_stack, verticalConcat); // 可以传递一个Mat的vector
    // 或者 cv::vconcat(matrixD, matrixE, verticalConcat);

    std::cout << "Vertical Concatenation:\n" << verticalConcat << std::endl;

    return 0;
}

总结 🎉

OpenCV 提供了非常全面且易于使用的矩阵运算功能。通过 cv::Mat 类及其相关函数，可以高效地执行从基本算术运算到复杂线性代数运算的各种操作。熟练掌握这些运算是进行图像处理和计算机视觉算法开发的基础。记得查阅 OpenCV 官方文档以获取更详细的信息和更多高级功能。