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修改数组

题目描述

给定一个长度为 NN 的数组 A=[A1,A2,⋅⋅⋅,AN]A=[A1,A2,⋅⋅⋅,AN]，数组中有可能有重复出现的整数。

现在小明要按以下方法将其修改为没有重复整数的数组。小明会依次修改A2,A3,⋅⋅⋅,ANA2,A3,⋅⋅⋅,AN。

当修改 AiAi 时，小明会检查 AiAi 是否在 A1A1 ∼ Ai−1Ai−1 中出现过。如果出现过，则小明会给 AiAi 加上 1 ；如果新的 AiAi 仍在之前出现过，小明会持续给 AiAi 加 1 ，直到 AiAi 没有在 A1A1 ∼ Ai−1Ai−1 中出现过。

当 ANAN 也经过上述修改之后，显然 AA 数组中就没有重复的整数了。

现在给定初始的 AA 数组，请你计算出最终的 AA 数组。

输入描述

第一行包含一个整数 NN。

第二行包含 NN 个整数 A1,A2,⋅⋅⋅,ANA1,A2,⋅⋅⋅,AN。

其中，1≤N≤105，1≤Ai≤1061≤N≤105，1≤Ai≤106。

输出描述

输出 NN 个整数，依次是最终的 A1,A2,⋅⋅⋅,ANA1,A2,⋅⋅⋅,AN。

输入输出样例

示例

输入

5
2 1 1 3 4

输出

2 1 3 4 5

运行限制

最大运行时间：1s
最大运行内存: 256M

总通过次数: 6130 | 总提交次数: 8905 | 通过率: 68.8%

难度: 困难标签: 2019, 并查集, 省赛

算法思路

本题需要高效处理数组重复元素，核心挑战在于避免暴力解法的O(n²)时间复杂度。最优解法使用并查集，通过路径压缩实现高效查找：

并查集维护：每个数字指向下一个可用值
路径压缩：查询时优化后续访问路径
动态分配：处理数字递增时的关联关系

https://oi-wiki.org/ds/images/dsu1.png
并查集路径压缩示意图

代码实现（C++）

#include <iostream>
using namespace std;

const int MAX = 2000005; // 最大数值范围
int fa[MAX]; // 并查集数组

// 带路径压缩的并查集查询
int find(int x) {
    if (x != fa[x]) 
        fa[x] = find(fa[x]); // 路径压缩
    return fa[x];
}

int main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0);
    
    int n;
    cin >> n;
    
    // 初始化并查集
    for (int i = 1; i < MAX; i++) 
        fa[i] = i;
    
    // 处理每个数字
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        int num;
        cin >> num;
        int root = find(num); // 找到当前可用值
        cout << root << " ";
        fa[root] = find(root + 1); // 指向下一个可用值
    }
    
    return 0;
}

算法步骤详解

初始化：创建并查集数组fa，初始每个元素指向自己
处理元素：
- 输入数字num
- 通过find(num)找到实际可用值root
- 输出root并更新fa[root] = find(root+1)
路径压缩：find()函数递归优化查询路径

代码解析

并查集设计：
- fa数组存储每个数字的下一个可用值
- 初始状态：fa[i] = i（每个数字都可用）
路径压缩：
```
if (x != fa[x]) 
    fa[x] = find(fa[x]); // 核心优化
```
将查询路径上的所有节点直接指向根节点，大幅减少后续查询时间
动态更新：
```
fa[root] = find(root + 1);
```
当前数字使用后，指向下一个可用数字的根（处理连续被占用情况）

实例验证

输入：5\n2 1 1 3 4
处理过程：

初始：fa[1]=1, fa[2]=2,...
处理2 → find(2)=2，输出2，设置fa[2]=find(3)=3
处理1 → find(1)=1，输出1，设置fa[1]=find(2)=3（因fa[2]=3）
处理1 → find(1)=find(3)=3，输出3，设置fa[3]=find(4)=4
处理3 → find(3)=4，输出4，设置fa[4]=find(5)=5
处理4 → find(4)=5，输出5
输出：2 1 3 4 5 ✅

注意事项

数组大小：
- 需设置MAX = 初始最大值 + n + 5（示例中2000005）
- 最坏情况：所有元素为1，最大值为1 + n
时间复杂度：
- 单次find()均摊O(α(n))（反阿克曼函数）
- 整体O(nα(n)) ≈ O(n)
边界处理：
- 首元素不需处理
- 输入数据保证n≥1

测试点设计

测试类型	输入样例	预期输出	验证重点
最小规模	`1\n5`	`5`	单元素处理
全相同值	`5\n1 1 1 1 1`	`1 2 3 4 5`	连续递增处理
无重复	`5\n5 4 3 2 1`	`5 4 3 2 1`	无修改情况
边界值	`100000\n`(全1)	`1 2 ... 100000`	最大数据性能
混合重复	`6\n2 2 1 3 3 1`	`2 3 1 4 5 6`	非连续重复

优化建议

内存优化：
```
vector<int> fa(MAX); // 动态分配
```
根据n动态设置MAX值，减少内存占用

输入优化：

ios::sync_with_stdio(false);
cin.tie(0); // 解除IO同步

非递归查询（避免递归爆栈）：

int find(int x) {
    int root = x;
    while (root != fa[root]) 
        root = fa[root];
    while (x != root) {
        int next = fa[x];
        fa[x] = root;
        x = next;
    }
    return root;
}

预分配空间：
```
fa.reserve(MAX); // 减少vector扩容
```

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