高中数学联赛模拟试题精选学数学系列第24套几何题

发布于：2025-06-11 ⋅ 阅读:(20) ⋅ 点赞:(0)

$\odot O_1$ 和 $\odot O_2$ 交于 $A$ , $B$ . $Y$ 是 $\odot O_1$ 上一点, $Z$ 是 $\odot O_2$ 上一点， $Y Z$ 通过 $A$ . 过 $Y$ 的 $\odot O_1$ 的切线和过 $Z$ 的 $\odot O_2$ 的切线交于点 $X$ . 线段 $BX$ 交 $\triangle BO_1O_2$ 的外接圆于点 $Q$ . 求证: $XQ$ 之长等于 $\triangle BO_1O_2$ 的外接圆直径之长.

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证明:

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设 $O$ 是 $(X Y Z)$ 的圆心. 设 $B I$ 是 $BO_1O_2$ 的直径). 延长 $B I$ 交 $(X Y Z)$ 于点 $J$ .

$\triangle BYZ\sim\triangle BO_1O_2$ .

$OO_1\bot BY$ , $OO_2\bot BZ$ , 所以 $\angle O_1BO_2=\pi-\angle YBZ=\angle O_1OO_2=\pi-\angle O_1BO_2$ , 进而 $O$ 在 $BO_1O_2)$ 上.

$\angle Q_1QB=\angle O_1O_2B=\angle BZY=\angle BXY$ , 所以 $QO_1//XY$ .

$OO_1\bot BY$ , $O_1Y\bot O_1Q$ , 所以 $\angle QO_1O=\angle O_1YB$ .
设 $QO_2$ 和 $IO_2$ 分别交 $BZ$ 于点 $K$ , $L$ .

$\angle OBZ=\frac{\pi}{2}-\angle BOO_2$ , $\angle IBO_2=\frac{\pi}{2}-\angle BIO_2$ .

$\angle BOO_2=\angle BIO_2$ , 所以 $\angle OBZ=\angle IBO_2$ , 进而 $\angle OBI=\angle ZBO_2$ .

显然 $\angle ZBO_2=\angle O_1BY=\angle O_1YB$ .

所以 $\angle QBO=\angle IBO$ . 结合 $O$ 是 $(X Y Z)$ 圆心可知 $BX = B J$ .
显然 $\angle BIO_2=\angle BJZ$ , 所以 $IO_2//JZ$ .

$B I / I J = B L / L Z$ , $XQ / BQ = Z K / B K$ .

易证明 $\triangle O_2KB \simeq \triangle O_2LZ$ .

所以 $B L / L Z = Z K / B K$ . 进而 $B I / I J = XQ / BQ$ , 结合 $BX = J B$ 可知 $XQ = B I$ .

证毕.

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