高等数学基础(行列式和矩阵的秩)

行列式主要用于判断矩阵是否可逆及计算特征方程

初见行列式

行列式起源于线性方程组求解
$$\{\begin{array}{l}{a}_{11}{x}_1+a_{12}{x}_2=b_1\\ a_{21}{x}_1+a_{22}{x}_2=b_2\end{array}$$
通过消元法得到, $\{\begin{array}{l}(a_{11}{a}_{22}-a_{12}{a}_{21})x_1=b_1{a}_{22}-b_2{a}_{12}\\ (a_{11}{a}_{22}-a_{12}{a}_{21})x_2=b_2{a}_{11}-b_1{a}_{21}\end{array}$
当$a_{11}{a}_{22}-a_{12}{a}_{21}\ne 0$时, 方程有唯一解
$$x_1=\frac{b_1{a}_{22}-b_2{a}_{12}}{a_{11}{a}_{22}-a_{12}{a}_{21}},x_2=\frac{b_2{a}_{11}-b_1{a}_{21}}{a_{11}{a}_{22}-a_{12}{a}_{21}}$$

在方程组解的表达式中, 分母是方程组的4个系数确定, 提取4个系数并按他们在方程组中的位置, 排列为二行二列的数表(横排称为行, 竖排称为列)
$\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}\\ a_{21}& a_{22}\end{array}$, 其中$a_{11}{a}_{22}-a_{12}{a}_{21}$表示为$\left[\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}\\ a_{21}& a_{22}\end{array}\right]$, 称为二阶行列式
利用二阶行列式, 方程组的解可以表示为$x_1=\frac{D_1}{D}$, $x_2=\frac{D_2}{D}$, 其中$D=\left[\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}\\ a_{21}& a_{22}\end{array}\right]$称为系数行列式$D_1=\left[\begin{array}{cc}{b}_1& a_{12}\\ b_2& a_{22}\end{array}\right]$, $D_2=\left[\begin{array}{cc}{a}_{11}& b_1\\ a_{21}& b_2\end{array}\right]$

行列式定义

从二阶行列式推导到$n$阶行列式的定义
$$\left[\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right]=\sum _{j_1{j}_2...j_n}(-1{)}^l{a}_{1j_1}{a}_{2j_2}\cdots a_{n{j}_n}$$
其中$a_{ij}$, $i=1,2\cdots ,n$, $j=1,2,\cdots ,n$, 称为行列式的元素, 其中$i$称为行标, 表示该元素位于哪一行, $j$称为列下表, 表示该元素位于哪一列
$j_1{j}_2\cdots j_n$代表${\sum }_{j_1{j}_2...j_n}$对$j_1{j}_2\cdots j_n$取一遍$1,2,\cdots n$的一切排列求和, 共有$n!$项
如, 123的排列为$123,132,213,232,312,321$排列$321$的逆序数为$3$, $3!=6$项

常见行列式计算

一阶行列式
$$\left[\begin{array}{c}{a}_1\end{array}\right]=a_1$$
二阶行列式
$$\left[\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}\\ a_{21}& a_{22}\end{array}\right]=a_{11}{a}_{22}-a_{12}{a}_{21}$$
三阶行列式
$$\left[\begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}\end{array}\right]=a_{11}{a}_{22}{a}_{33}+a_{12}{a}_{23}{a}_{31}+a_{13}{a}_{21}{a}_{32}-a_{13}{a}_{22}{a}_{31}-a_{12}{a}_{21}{a}_{33}-a_{11}{a}_{23}{a}_{32}$$
计算公式
主对角线 - 副对角线

求行列式的值
$$A=\left[\begin{array}{ccc}1& -2& 3\\ -1& 2& 1\\ -3& -4& -2\end{array}\right]$$
根据定义解得:
$A=1\times 2\times (-2)+(-2)\times 1\times (-3)+3\times (-4)\times (-1)-3\times 2\times (-3)-(-2)\times (-1)\times (-2)-1\times (-4)\times 1=40$
方阵$A$的行列式可以判断$A$是否可逆, 不为0可逆, 为0不可逆

行列式和矩阵的区别

行列式

• 行数等于列数
• 共有$n^2$个元素
• 本质是一个数值(一种矩阵的计算方式)

矩阵

• 行数可以不等于列数
• 有$m\times n$和元素
• 本质是一个数表

行列式计算

Numpy中通过np.linalg.det()函数计算

import numpy as np

A = np.array([[1, 2], [3, 4]])
print("A 的行列式为 np.linalg.det(A): ", np.linalg.det(A))
print("A 矩阵是否可逆: ", np.linalg.det(A) != 0)
B = np.array([[1, 2, 3], [4, 5, 6], [7, 8, 9]])
print("B 的行列式为 np.linalg.det(B): ", np.linalg.det(B))
print("B 矩阵是否可逆: ", np.linalg.det(B) != 0)

矩阵的秩

矩阵的秩代表计算线性方程组解的数目, 去掉无关项(线性相关)然后其余的数量就是矩阵的秩, 矩阵的秩可以从行和列两个方向观察, 首先要了解线性相关和线性无关

向量组

${\alpha }_1=\left[\begin{array}{c}{a}_{11}\\ a_{21}\\ ⋮\\ a_{m1}\end{array}\right],{\alpha }_2=\left[\begin{array}{c}{a}_{12}\\ a_{22}\\ ⋮\\ a_{m2}\end{array}\right],{\alpha }_n=\left[\begin{array}{c}{a}_{1n}\\ a_{2n}\\ ⋮\\ a_{mn}\end{array}\right]$, 每个${\alpha }_i$称为$m$维列向量

${\beta }_1=\left[\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{21}& \cdots & a_{m1}\end{array}\right],{\beta }_2=\left[\begin{array}{ccccc}{a}_{12}& a_{22}& \cdots & & a_{m2}\end{array}\right],{\beta }_n=\left[\begin{array}{cccc}{a}_{1n}& a_{2n}& \cdots & a_{mn}\end{array}\right]$, 每个$a_i$称为$m$维行向量

import numpy as np

A = np.array([[1, 2, 3], [4, 5, 6]])

# reshape 重新绘制向量, 否则为1维数组
print("第0行: \n", A[0, :].reshape(1, -1))
print("第1列: \n", A[:, 1].reshape(-1, 1))

"""output:
第0行: 
 [[1 2 3]]
第1列: 
 [[2]
 [5]]
 """

向量组的线性相关和线性无关

线性相关 vs 线性无关

本质问题：这些向量里有没有「多余的」？

线性相关（有冗余）

• 例子：
  向量A = [1,2]，向量B = [2,4]
  → B = 2×A，B完全可以用A复制粘贴得到
  → 像拼乐高时，你已经有红砖了，又拿了个两倍大的红砖，没带来新形状

• 数学定义：
  存在不全为0的系数（比如k₁=2, k₂=-1），使得 k₁A + k₂B = 0
  → 向量之间能互相「组合」出来，存在冗余

线性无关（都必要）

• 例子：
  向量X = [1,0]（横向箭头），向量Y = [0,1]（纵向箭头）
  → 无法用X造出Y，也无法用Y造出X
  → 像乐高红砖和蓝砖，拼平面必须同时需要两者

• 数学意义：
  没有任何一个向量能被其他向量组合出来
  → 每个向量都贡献了独特的「方向」

矩阵的秩（本质：独立信息数）

本质问题：这个矩阵里有多少个真正「有用」的向量？

直观理解

• 矩阵就像行李箱打包：
  每一列是一个物品（向量），秩 = 真正有用的物品数量
  • 如果塞了5件衣服但都是同样的T恤 → 秩=1（其实带一件就够了）
  • 如果带了T恤、外套、裤子、袜子 → 秩=4（每样都不同）

具体例子

• 秩=1的矩阵：

  [1 2 3]  
  [2 4 6]  
  

  → 所有列都是[1,2]的倍数，第三列=第一列×3
  → 像只带了一个U盘但复制了3份文件，实际信息量=1

• 秩=2的矩阵：

  [1 0 1]  
  [0 1 1]  
  

  → 前两列是X/Y方向箭头，第三列=前两列相加
  → 虽然3列，但最多能表示二维平面里的所有点

几何意义

• 秩=能撑开的空间维度
  • 秩1 → 所有向量挤在一条直线上
  • 秩2 → 向量铺满一个平面
  • 秩3（三维矩阵）→ 充满立体空间

为什么重要？

1. 解方程：
   Ax=0的解的数量 = 未知数个数 - 秩
   → 秩越小，自由度越大（比如行李箱空位多）

2. 数据压缩：
   图片/视频矩阵如果秩低，说明有大量重复 → 可压缩

3. 机器学习：
   特征向量如果线性相关，说明有冗余特征需要剔除

矩阵秩的计算

题目1：

求矩阵 $A=\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 2& 4& 6\\ 3& 6& 9\end{array}\right]$ 的秩。

步骤解析：

1. 观察原始矩阵：
   每一行的数字都很像成比例的：

   • 第2行 = 第1行 × 2
   • 第3行 = 第1行 × 3
     → 明显冗余（像行李箱里塞了3个同样的T恤）。

2. 用行变换化简：
   目标是把矩阵变成「阶梯形」，只保留独立信息。

   • 第1步：保留第1行不变。
     $$\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 2& 4& 6\\ 3& 6& 9\end{array}\right]$$
   • 第2步：用第1行消去第2行和第3行的第一个元素：
     • 第2行 → 第2行 - 2×第1行：
       $[2,4,6]-2\times [1,2,3]=[0,0,0]$
     • 第3行 → 第3行 - 3×第1行：
       $[3,6,9]-3\times [1,2,3]=[0,0,0]$
       结果变为：
       $$\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right]$$

3. 统计非零行数：
   只有第1行是非零行 → 秩 = 1。

比喻解释：

• 矩阵像一个行李箱，里面装了3件物品（3行），但全是同一款T恤（成比例）。
• 实际有用的物品只有1件 → 秩 = 1。

题目2：

求矩阵 $B=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 2\\ 0& 1& 3\end{array}\right]$ 的秩。

步骤解析：

1. 观察原始矩阵：

   • 第1行和第2行没有比例关系（像一件T恤和一条裤子）。
   • 已经是阶梯形（每行的首项数字在右侧）。

2. 直接统计非零行数：
   有2行非零行 → 秩 = 2。

几何意义：

• 两个向量 $[1,0]$ 和 $[0,1]$ 是正交的，可以撑开一个二维平面。
• 第三列 $[2,3]$ 被前两列组合出来（$2\times [1,0]+3\times [0,1]=[2,3]$），属于冗余信息。

总结方法：

1. 核心思想：

   • 秩 = 矩阵中线性无关的行（或列）的最大数量。
   • 用初等行变换将矩阵简化为阶梯形，数非零行数即可。

2. 技巧：

   • 看是否有某行/列是其他行/列的倍数或组合。
   • 零行或零列对秩无贡献（像行李箱里的空袋子）。

3. 常见陷阱：

   • 误以为矩阵的秩等于行数或列数（需看独立信息）。
   • 行变换时计算错误（建议分步写中间结果）。

代码计算

import numpy as np

E = np.eye(5)
print(E)
print("单位矩阵E的秩: \n",  np.linalg.matrix_rank(E))
A = np.array([[1, 2, 3], [4, 5, 6], [7, 8, 9], [10, 11, 12]])  # 根据列算 + 1
print("A的秩: \n", np.linalg.matrix_rank(A))

"""output:
[[1. 0. 0. 0. 0.]
 [0. 1. 0. 0. 0.]
 [0. 0. 1. 0. 0.]
 [0. 0. 0. 1. 0.]
 [0. 0. 0. 0. 1.]]
单位矩阵E的秩: 
 5
A的秩: 
 2
 """