量化面试绿皮书：13. 贴错标签的袋子

文中内容仅限技术学习与代码实践参考，市场存在不确定性，技术分析需谨慎验证，不构成任何投资建议。

13. 贴错标签的袋子

给你三袋水果。一袋装着苹果，一袋装着橙子，还有一袋装着苹果橙子混合水果。
每个袋子上都贴有标签（苹果、橙子或混合水果）。
不幸的是，你的经理告诉你，所有袋子都贴错了标签。

Q: 制定一个策略，通过取出最少数量的水果来识别这些袋子。你可以从任意袋子中取出任意数量的水果。

A: 由于所有袋子的标签都贴错了，我们可以利用这一信息制定一个高效的策略。策略的核心是从贴有“混合水果”标签的袋子入手，因为它的标签错误意味着它不可能是混合水果（只能是纯苹果或纯橙子）。通过取出一个水果，就能确定其内容，然后结合标签错误的逻辑推导出其他两个袋子的内容。

策略：通过取出最少数量的水果识别袋子

具体步骤

1. 从贴有“混合水果”标签的袋子中取出一个水果（只取一个水果即可）：

   • 如果取出的是苹果：则该袋子实际是纯苹果（因为标签错误，它不可能是混合水果；取出苹果说明它也不可能是纯橙子）。
   • 如果取出的是橙子：则该袋子实际是纯橙子（同理，标签错误且取出橙子说明它不可能是纯苹果）。

2. 根据第一步的结果，推导其他两个袋子的内容：

   • 情况A：第一步取出苹果（即贴“混合水果”标签的袋子是纯苹果）：

     • 标签为“苹果”的袋子：标签错误，因此它不可能是纯苹果；同时，纯苹果已被识别（在贴“混合水果”标签的袋子中），所以它也不可能是纯苹果。因此，它必须是混合水果。
     • 标签为“橙子”的袋子：标签错误，因此它不可能是纯橙子；同时，纯苹果和混合水果已被分配，所以它必须是纯橙子。

   • 情况B：第一步取出橙子（即贴“混合水果”标签的袋子是纯橙子）：

     • 标签为“橙子”的袋子：标签错误，因此它不可能是纯橙子；同时，纯橙子已被识别（在贴“混合水果”标签的袋子中），所以它也不可能是纯橙子。因此，它必须是混合水果。
     • 标签为“苹果”的袋子：标签错误，因此它不可能是纯苹果；同时，纯橙子和混合水果已被分配，所以它必须是纯苹果。

为什么这个策略有效？

• 所有标签都贴错了，这提供了关键约束：每个袋子的实际内容与标签不符。
• 从贴“混合水果”标签的袋子入手，因为它不可能是混合水果，所以只需取出一个水果就能确定它是纯苹果或纯橙子。
• 一旦确定一个纯水果袋子的内容，剩余两个袋子的内容可以通过逻辑推理得出，无需再取出更多水果。

最少数量的水果

• 这个策略只需要取出一个水果（从贴“混合水果”标签的袋子中）。
• 取出一个水果后，结合标签错误的逻辑，就能完全识别所有三个袋子的内容。

示例验证

• 假设实际内容：袋子A（纯苹果，但标签“橙子”）、袋子B（纯橙子，但标签“混合水果”）、袋子C（混合水果，但标签“苹果”）。
• 策略执行：
  1. 从贴“混合水果”标签的袋子（袋子B）取出一个水果：取出橙子，因此袋子B是纯橙子。
  2. 推导：
     • 标签“苹果”的袋子（袋子C）：标签错误，不能是苹果；纯橙子已占用，所以必须是混合水果。
     • 标签“橙子”的袋子（袋子A）：必须是纯苹果（因为纯橙子和混合水果已分配）。
• 结果正确：袋子A（纯苹果）、袋子B（纯橙子）、袋子C（混合水果），所有标签均错误。

此策略确保在取出最少量水果（仅一个）的情况下，100%正确识别所有袋子。

Python 实现

以下是解决三袋水果标签识别问题的Python实现。代码使用Google强类型注释风格，通过最小取水果数（仅需1个）识别所有袋子的实际内容。

import random
from typing import Dict, List, TypedDict


# 类型定义
class Bag(TypedDict):
    content: str
    label: str


class InferenceResult(TypedDict):
    label: str
    inferred_content: str


class IdentificationResult(TypedDict):
    fruits_picked: int
    inference: List[InferenceResult]
    actual_mapping: Dict[str, str]


def identify_bags() -> IdentificationResult:
    """识别贴错标签的水果袋内容。

    策略：
    1. 所有袋子标签均错误
    2. 从标签为'mixed'的袋子取一个水果
    3. 根据取出水果类型推断所有袋子实际内容

    Returns:
        IdentificationResult: {
            fruits_picked: 取水果次数（始终为1）
            inference: 推理结果（标签到内容的映射）
            actual_contents: 袋子的实际内容（用于验证）
        }

    """
    # 步骤1: 初始化袋子的实际内容（随机排列）
    contents: List[str] = ["apple", "orange", "mixed"]
    random.shuffle(contents)

    # 步骤2: 生成完全错误的标签配置
    labels: List[str] = ["apple", "orange", "mixed"]
    while True:
        random.shuffle(labels)
        # 确保所有标签都错误
        if all(label != content for label, content in zip(labels, contents)):
            break

    # 创建袋子数据结构并建立标签->内容映射
    actual_mapping: Dict[str, str] = {}
    for i in range(3):
        actual_mapping[labels[i]] = contents[i]

    # 步骤3: 找到标签为'mixed'的袋子
    mixed_label_bag = next(label for label in labels if label == "mixed")

    # 步骤4: 取出一个水果
    # 注意：这里使用实际内容判断
    picked_fruit = actual_mapping[mixed_label_bag]

    # 步骤5: 核心推理逻辑（修复版）
    inference_map: Dict[str, str] = {}

    # 情况1: 取出苹果 → mixed标签袋实际是苹果
    if picked_fruit == "apple":
        inference_map["mixed"] = "apple"
        # 苹果标签袋不能是苹果（标签错误）也不能是苹果（已被占用）
        inference_map["apple"] = "orange"
        # 橙子标签袋只能是混合
        inference_map["orange"] = "mixed"

    # 情况2: 取出橙子 → mixed标签袋实际是橙子
    elif picked_fruit == "orange":
        inference_map["mixed"] = "orange"
        # 苹果标签袋不能是苹果（标签错误）也不能是橙子（已被占用）
        inference_map["apple"] = "mixed"
        # 橙子标签袋只能是苹果
        inference_map["orange"] = "apple"

    # 情况3: 取出混合水果 → 不可能情况（mixed袋只可能是纯水果）
    else:  # picked_fruit == 'mixed'
        # 根据问题约束，mixed标签袋不可能是混合水果
        # 重新分配逻辑
        inference_map["mixed"] = "apple" if random.random() > 0.5 else "orange"
        # 使用排除法确定其他袋子
        remaining = ["apple", "orange", "mixed"]
        remaining.remove(inference_map["mixed"])
        inference_map["apple"] = (
            remaining[0] if "apple" not in remaining else remaining[1]
        )
        inference_map["orange"] = [
            x
            for x in ["apple", "orange", "mixed"]
            if x != inference_map["mixed"] and x != inference_map["apple"]
        ][0]

    # 步骤6: 构建返回结果
    inference_result: List[InferenceResult] = [
        {"label": label, "inferred_content": content}
        for label, content in inference_map.items()
    ]

    return {
        "fruits_picked": 1,
        "inference": inference_result,
        "actual_mapping": actual_mapping,  # 返回标签->内容的映射
    }


def verify_solution(result: IdentificationResult) -> bool:
    """验证识别结果是否正确

    Args:
        result (IdentificationResult): identify_bags()返回的结果

    Returns:
        bool: 所有推理是否匹配实际内容
    """
    # 将推理结果转换为字典
    inference_dict = {
        item["label"]: item["inferred_content"] for item in result["inference"]
    }

    # 直接比较两个字典
    return inference_dict == result["actual_mapping"]


# 运行1000次测试验证正确性
test_count = 1000
success_count = 0

for i in range(test_count):
    result = identify_bags()
    if verify_solution(result):
        success_count += 1
    else:
        print(f"测试失败! 第{i+1}次迭代")
        print(f"实际映射: {result['actual_mapping']}")
        print(
            f"推理结果: { {item['label']: item['inferred_content'] for item in result['inference']} }"
        )

success_rate = (success_count / test_count) * 100
print(f"测试完成! 成功率: {success_rate:.2f}% ({success_count}/{test_count})")

if success_rate == 100:
    print("所有测试通过! 策略正确识别了所有袋子内容")
    print(f"每次识别仅需取出 {result['fruits_picked']} 个水果")

    # 打印最后一次运行结果
    print("\n示例运行结果:")
    print(f"袋子实际映射: {result['actual_mapping']}")
    print("推理映射关系:")
    for item in result["inference"]:
        print(f"标签 '{item['label']}': 推理内容 '{item['inferred_content']}'")

策略说明

1. 问题约束：所有袋子的标签都错误

2. 关键步骤：

   • 从标签为"mixed"的袋子取出一个水果
   • 若取出苹果 → 该袋实际是苹果
   • 若取出橙子 → 该袋实际是橙子

3. 推理规则：

   情况1（取出苹果）:
     mixed标签袋 = 苹果
     苹果标签袋 ≠ 苹果 → 必是橙子
     橙子标签袋 ≠ 橙子 → 必是混合
   
   情况2（取出橙子）:
     mixed标签袋 = 橙子
     苹果标签袋 ≠ 苹果 → 必是混合
     橙子标签袋 ≠ 橙子 → 必是苹果
   

这道面试题的本质是考察候选人在信息约束下构建逻辑推理框架的能力和通过最小化操作成本实现系统状态识别的优化思维，这类能力直接对应量化金融领域中高频交易信号验证、风险管理模型校准和衍生品定价参数估计等核心挑战。

🔑 核心知识点

1. 约束优化

   • 在标签全错的强约束下寻找最优抽样策略
   • 类比：交易成本约束下的最优执行算法

2. 信息价值评估

   • 量化单次抽样获得的信息量（1个水果决定3个袋子）
   • 类比：市场数据获取成本 vs 预测精度提升的权衡

3. 状态空间推理

   • 建立标签与内容的映射关系（3! = 6种可能状态）
   • 类比：隐含波动率曲面的状态校准

4. 鲁棒性设计

   • 策略需覆盖所有错误配置场景
   • 类比：压力测试中的极端情景建模

📊 面试评估维度

🧩 典型回答框架

1. 定义约束系统

   { label i ≠ content i ∀ i ∈ { 1 , 2 , 3 } content ∈ { A , O , M } \begin{cases} \text{label}_i \neq \text{content}_i & \forall i \in \{1,2,3\} \\ \text{content} \in \{A, O, M\} \end{cases} {labeli​=contenti​content∈{A,O,M}​∀i∈{1,2,3}

2. 选择最优观测点

   • 从标签为"混合"的袋抽样（信息熵最高点）

3. 构建推理引擎

   if 取出苹果 → 该袋=苹果 
      → 苹果标签袋 ≠ 苹果 → 必为橙子 
      → 橙子标签袋 = 混合
   

4. 验证完备性

   • 反向检查所有标签错误条件是否满足

💡 核心洞察

• 信息杠杆效应：在量化交易中，1单位市场数据可能推导出N倍隐含信息（如期权链数据推演波动率曲面）
• 约束即信息源：标签错误本是不利条件，但转化为强推理工具，类似利用市场无效性构建套利策略
• 最优停止问题：抽样1次即终止决策，对应高频交易中的微秒级下单判断
• 维度灾难破解：将 $O(n!)$ 复杂度问题降为 $O(1)$，类比PCA在因子模型中的降维应用

在实战中，此类能力直接应用于：

• 衍生品定价中的模型校准（有限市场报价→完整曲线构建）
• 风险管理的尾部分布估计（稀疏极端事件→完整风险轮廓）
• 量化Alpha的隐变量挖掘（可见因子→隐藏因子推理）

风险提示与免责声明
本文内容基于公开信息研究整理，不构成任何形式的投资建议。历史表现不应作为未来收益保证，市场存在不可预见的波动风险。投资者需结合自身财务状况及风险承受能力独立决策，并自行承担交易结果。作者及发布方不对任何依据本文操作导致的损失承担法律责任。市场有风险，投资须谨慎。