voronoi图，凸壳，和早已遗忘的定不定积分

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voronoi图的定义

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1.Voronoi 图

https://dsa.cs.tsinghua.edu.cn/~deng/cg/project/2000f/2000f-g.pdf

2.Voronoi 图的理解 - taohuaxiaochunfeng - 博客园

博客园

3.Voronoi图(泰森多边形)-CSDN博客

https://blog.csdn.net/weixin_50273713/article/details/136517339

4.Voronoi图及相关第三方库概述-伙伴云

伙伴云

Voronoi图，又称泰森多边形或狄利克雷镶嵌，是一种基于离散点集的空间划分方法。以下从定义、性质、生成方法及应用四个方面对其进行详细说明。

1. 定义

Voronoi图是将空间划分为多个区域的一种方法，每个区域内的所有点到某个特定点（称为“生成点”或“站点”）的距离，都比到其他生成点的距离更近。这些区域被称为Voronoi单元（Cell），相邻单元之间的边界称为Voronoi边（Edge），而多个Voronoi边交汇的点称为Voronoi顶点（Vertex）。

形式化定义：

给定一个度量空间（M, d）和其中的一个离散点集S={s₁, s₂, …, sₙ}，对于任意一点sᵢ∈S，其对应的Voronoi区域V(sᵢ)定义为：

V(si)={P∈M∣d(P,si)≤d(P,sj) 对所有 j≠i}V(si​)={P∈M∣d(P,si​)≤d(P,sj​) 对所有 j=i}

其中，d(P, sᵢ)表示点P到生成点sᵢ的距离

。

通俗解释：

例如，在一个城市中，假设有几家咖啡店，Voronoi图可以帮助我们找到每个地方最近的咖啡店。每个咖啡店都有自己的“势力范围”，在这个范围内居住的人到这家咖啡店的距离是最近的

。

2. 性质

Voronoi图具有以下基本性质：

• Voronoi边：是相邻两个生成点连线的垂直平分线，边上的点到这两个生成点的距离相等。
• Voronoi顶点：是距离三个或更多生成点相等的点。
• 单元形状：在欧氏平面上，Voronoi单元通常是凸多边形。
• 对偶性：Voronoi图与Delaunay三角剖分互为对偶结构，即每个Voronoi单元的顶点对应Delaunay三角剖分中三角形的外接圆圆心

• 。

3. 生成方法

Voronoi图的生成通常基于Delaunay三角剖分，其步骤如下：

1. 构建Delaunay三角网：将生成点集划分为三角形，确保任意三角形的外接圆内不包含其他点。
2. 计算外接圆圆心：每个三角形的外接圆圆心即为Voronoi图的顶点。
3. 连接相邻顶点：连接相邻三角形的外接圆圆心，形成Voronoi边，从而构成Voronoi图

1. 。

常用算法：

• 分治法：通过递归划分点集来生成Voronoi图。
• 扫描线算法：利用扫描线处理点集，生成Voronoi图。
• Delaunay三角剖分算法：通过构建Delaunay三角网，再生成对偶的Voronoi图

• 。

4. 应用

Voronoi图因其高效的空间划分能力，在多个领域有广泛应用：

1. 地理信息系统（GIS）：用于划分服务覆盖范围，如医院、学校或消防站的服务区域

• 。
• 机器人路径规划：通过Voronoi图找到避开障碍物的安全路径，或实现多目标路径规划
• 。
• 计算机图形学：生成自然纹理（如昆虫翅膀纹理）或地形建模
• 。
• 生物学与材料科学：模拟细胞结构、晶体生长等
• 。
• 无线通信：优化基站信号覆盖范围

1. 。

总结

Voronoi图是一种强大的空间划分工具，其核心思想是通过距离最近原则将空间划分为多个区域。它不仅具有丰富的数学性质，还在多个实际场景中展现了广泛的应用价值。无论是理论研究还是实际应用，Voronoi图都提供了高效且直观的解决方案。

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z3-8，z4-2算法分别是

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1.数据结构_1.基本概念_1.2什么是算法_在数据结构1,2-CSDN博客

https://blog.csdn.net/weixin_46304251/article/details/119410525

2.2_算法的概念(数据结构相关)_算法四大要求-CSDN博客

https://blog.csdn.net/m0_59086897/article/details/127255467

3.【算法原理和代码实战】德州扑克计算概率4-2法则原理(基于概率论和统计学的基本原理),详细计算步骤,具体算法代码实例。_德扑计算-CSDN博客

https://blog.csdn.net/universsky2015/article/details/131720991

4.ZUC(祖冲之)算法_zuc算法-CSDN博客

https://blog.csdn.net/MEGREZJQ/article/details/144060086

根据搜索结果，没有直接提到“z3-8”和“z4-2”算法的具体定义或描述。不过，根据搜索结果中提到的相关算法和概念，我们可以推测这两个算法可能与以下内容相关：

1. Z3 约束求解器

Z3 是微软研究院开发的一种高性能定理证明器，广泛用于程序验证、智能合约分析、优化问题等领域。它支持多种逻辑和约束求解，包括整数、布尔值、位向量等。Z3 通常用于解决约束条件下的数学问题，例如求解方程或验证程序的正确性

。

如果“z3-8”与 Z3 相关，可能指的是 Z3 在某种特定场景下的应用或约束求解问题，但具体含义需要更多上下文信息。

2. 4-2 法则

4-2 法则是一种在德州扑克中用于估算牌型概率的简便方法。其基本原理如下：

• 在德州扑克的前三张公共牌（翻牌圈）之后，如果你需要的牌有 n 张，那么你获得这种牌型的概率大约为 n × 4%。
• 在第四张公共牌（转牌圈）之后，如果你需要的牌有 n 张，那么你获得这种牌型的概率大约为 n × 2%

• 。

如果“z4-2”指的是 4-2 法则，可能是在某种特定场景下对概率的估算方法，但具体与“z”相关的含义仍需进一步澄清。

3. ZUC 算法

ZUC（祖冲之算法）是一种由我国自主研发的流密码算法，用于数据加密和完整性验证。ZUC 算法采用三层结构：线性反馈移位寄存器（LFSR）、比特重组（BR）和非线性函数 F，能够生成高熵的伪随机比特流，用于加密数据

。

如果“z3-8”或“z4-2”与 ZUC 算法相关，可能是指该算法的某种特定实现或参数，但具体细节仍需更多背景信息。

总结

由于搜索结果中没有直接提及“z3-8”和“z4-2”算法的定义，我们只能根据相关算法（如 Z3 约束求解器、4-2 法则、ZUC 算法）推测它们可能涉及的内容。如果您能提供更多上下文信息，我们可以进一步明确这些算法的具体含义。

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分部积分公式

分部积分公式是微积分中的一个重要工具，用于求解两个函数乘积的积分。其基本形式如下：

公式

∫u dv=uv−∫v du∫udv=uv−∫vdu

解释

1. 变量选择：选择两个函数 uu 和 dvdv，其中 uu 是容易求导的函数，dvdv 是容易积分的函数。
2. 求导与积分：计算 du=u′ dxdu=u′dx 和 v=∫dvv=∫dv。
3. 代入公式：将 uu、vv、dudu 代入分部积分公式，简化积分表达式。

应用场景

分部积分常用于以下类型的积分：

• 对数函数、反三角函数的积分（如 ∫ln⁡x dx∫lnxdx）。
• 指数函数与三角函数的乘积（如 ∫exsin⁡x dx∫exsinxdx）。
• 多项式与指数/三角函数的乘积（如 ∫xex dx∫xexdx）。

示例

计算 ∫xcos⁡x dx∫xcosxdx：

1. 设 u=xu=x（易求导），dv=cos⁡x dxdv=cosxdx（易积分）。
2. 则 du=dxdu=dx，v=sin⁡xv=sinx。
3. 代入公式：

   ∫xcos⁡x dx=xsin⁡x−∫sin⁡x dx=xsin⁡x+cos⁡x+C∫xcosxdx=xsinx−∫sinxdx=xsinx+cosx+C

注意事项

• 选择 uu 和 dvdv 时，通常遵循“LIATE”规则（对数、反三角、代数、三角、指数函数优先选为 uu）。
• 对于循环积分（如 ∫exsin⁡x dx∫exsinxdx），可能需要多次分部积分后解方程。

分部积分是处理复杂积分问题的有效方法，通过合理选择变量和多次应用，可以简化计算过程。

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有上下线的分布积分公式和没有上下线的分布积分公式分别是

好的，我们来区分一下有上下限和无上下限情况下的分部积分公式。

分部积分公式本质上来源于乘积函数的微分法则。对于两个函数 u(x)u(x) 和 v(x)v(x)，有：

ddx(u(x)v(x))=u′(x)v(x)+u(x)v′(x)dxd​(u(x)v(x))=u′(x)v(x)+u(x)v′(x)

两边同时积分：

∫ddx(u(x)v(x)) dx=∫u′(x)v(x) dx+∫u(x)v′(x) dx∫dxd​(u(x)v(x))dx=∫u′(x)v(x)dx+∫u(x)v′(x)dx

左边是 u(x)v(x)u(x)v(x) 的原函数，可以写成：

u(x)v(x)=∫v(x) du+∫u(x) dvu(x)v(x)=∫v(x)du+∫u(x)dv

（这里 du=u′(x)dxdu=u′(x)dx, dv=v′(x)dxdv=v′(x)dx）

整理得到不定积分（无上下限）的分部积分公式：

1. 没有上下限的分部积分公式（不定积分）：

∫u dv=uv−∫v du∫udv=uv−∫vdu

这个公式用于计算函数的原函数。应用这个公式后，通常还需要加上一个积分常数 CC。

对于有上下限的定积分，我们使用牛顿-莱布尼兹公式。将上面的微分结果在区间 [a,b][a,b] 上积分：

∫abddx(u(x)v(x)) dx=∫abu′(x)v(x) dx+∫abu(x)v′(x) dx∫ab​dxd​(u(x)v(x))dx=∫ab​u′(x)v(x)dx+∫ab​u(x)v′(x)dx

左边根据牛顿-莱布尼兹公式，等于 u(x)v(x)u(x)v(x) 在 x=bx=b 和 x=ax=a 处的差值：

u(x)v(x)∣ab=∫abv(x) du+∫abu(x) dvu(x)v(x)∣ab​=∫ab​v(x)du+∫ab​u(x)dv

整理得到定积分（有上下限）的分部积分公式：

2. 有上下限的分部积分公式（定积分）：

∫abu dv=uv∣ab−∫abv du∫ab​udv=uv∣ab​−∫ab​vdu

或者写成：

∫abu dv=uv∣x=ax=b−∫abv du∫ab​udv=uv

​x=ax=b​−∫ab​vdu

这个公式用于计算函数在特定区间上的定积分值。这里的结果是一个具体的数值，不需要再加积分常数 CC。

总结：

• 无上下限（不定积分）： ∫u dv=uv−∫v du+C∫udv=uv−∫vdu+C （结果是一个函数族，含常数 CC）
• 有上下限（定积分）： ∫abu dv=uv∣ab−∫abv du∫ab​udv=uv∣ab​−∫ab​vdu （结果是一个具体的数值）

定积分的分部积分公式比不定积分的版本多了一个边界项 uv∣abuv∣ab​，这表示 u(x)v(x)u(x)v(x) 在积分上限 bb 和下限 aa 处的函数值之差。

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\delta_x u_i=什么

在数学和物理中，表达式 δxuiδx​ui​ 通常表示函数 uiui​ 关于变量 xx 的偏导数。具体含义取决于上下文，以下是几种常见解释：

1. 偏导数（最常见）

• 定义：如果 uiui​ 是一个关于多个变量的函数（如 ui=ui(x,y,z,… )ui​=ui​(x,y,z,…)），则 δxuiδx​ui​ 表示 uiui​ 对 xx 的偏导数：

  δxui=∂ui∂xδx​ui​=∂x∂ui​​

• 示例：若 ui(x,y)=x2y+3yui​(x,y)=x2y+3y，则：

  δxui=∂∂x(x2y+3y)=2xyδx​ui​=∂x∂​(x2y+3y)=2xy

2. 变分符号（变分法）

• 在变分法或场论中，δxδx​ 可能表示对 xx 的变分（variation），用于表示微小扰动。例如：

  δxui 表示 ui 在 x 方向上的变分。δx​ui​ 表示 ui​ 在 x 方向上的变分。

• 这通常出现在拉格朗日力学或广义相对论的场方程中。

3. 差分（离散数学）

• 在数值分析或离散数学中，δxδx​ 可能表示中心差分或前向/后向差分。例如：

  δxui≈ui(x+h)−ui(x−h)2hδx​ui​≈2hui​(x+h)−ui​(x−h)​

• 这是偏导数的数值近似。

4. 张量或向量分量

• 在张量分析中，δxδx​ 可能与克罗内克δ（Kronecker delta）相关，但通常克罗内克δ写作 δijδij​ 或 δijδij​。如果上下文涉及张量，需明确其定义。

总结

• 默认情况：δxuiδx​ui​ 通常指偏导数 ∂ui∂x∂x∂ui​​。
• 其他情况：需结合具体领域（如变分法、离散数学、张量分析）确认符号定义。

如果需要更精确的解释，请提供完整的数学背景或上下文。

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\delta_x u_i=什么（微分方程数值解离散格式

在微分方程的数值解离散格式中，表达式 δxuiδx​ui​ 通常表示函数 uu 在离散点 ii 处关于 xx 的某种差分近似。具体形式取决于所使用的差分格式（如前向差分、后向差分、中心差分等）。以下是几种常见情况：

1. 中心差分（最常用）

• 定义：δxuiδx​ui​ 常表示 uu 在点 ii 处的一阶导数的中心差分近似：

  δxui≈ui+1−ui−12Δxδx​ui​≈2Δxui+1​−ui−1​​

• 用途：适用于求解常微分方程（ODE）或偏微分方程（PDE）中的导数项，如扩散方程或波动方程。

2. 前向/后向差分

• 前向差分：

  δxui≈ui+1−uiΔxδx​ui​≈Δxui+1​−ui​​

• 后向差分：

  δxui≈ui−ui−1Δxδx​ui​≈Δxui​−ui−1​​

• 特点：精度低于中心差分（一阶精度），但可能在边界条件处理中更方便。

3. 二阶导数的离散格式

• 如果 δxδx​ 表示二阶导数（如扩散项），则：

  δx2ui≈ui+1−2ui+ui−1Δx2δx2​ui​≈Δx2ui+1​−2ui​+ui−1​​

• 这是扩散方程中常用的离散格式。

4. 符号约定

• 在某些文献中，δxδx​ 可能被定义为带符号的差分（如 δxui=ui+1−uiδx​ui​=ui+1​−ui​），具体需参考上下文。

关键点

• ΔxΔx：网格间距，是离散化的基础参数。
• 精度：中心差分通常为二阶精度，前向/后向差分为一阶精度。
• 边界处理：在边界点（如 i=0i=0 或 i=Ni=N），可能需要使用单侧差分（前向或后向）。

示例：一维热传导方程

考虑热传导方程：

∂u∂t=α∂2u∂x2∂t∂u​=α∂x2∂2u​

其显式差分格式为：

uin+1−uinΔt=αui+1n−2uin+ui−1nΔx2Δtuin+1​−uin​​=αΔx2ui+1n​−2uin​+ui−1n​​

其中 δx2uinδx2​uin​ 即表示右边的二阶导数离散项。

总结

δxuiδx​ui​ 的具体含义需结合上下文，但最常见的是中心差分近似一阶导数。如果涉及二阶导数或更高阶差分，需明确符号定义。在数值方法中，差分格式的选择直接影响解的精度和稳定性。