From learning models of natural image patches to whole image restoration论文阅读

1. 论文的研究目标与实际意义

研究目标：
论文旨在解决三个核心问题：

1. 高似然先验是否提升修复性能：验证赋予自然图像块高似然（likelihood）的先验能否改善局部（块级）修复效果。
2. 块先验能否用于整图修复：提出一种框架，将块级先验扩展至整幅图像修复。
3. 能否学习更好的块先验：设计一种更优的块先验模型（如高斯混合模型）。

实际意义：

• 产业价值：图像修复（去噪、去模糊、修复）在医学影像（如MRI降噪）、安防监控（模糊车牌复原）、影视后期等领域有广泛应用。高效先验模型可大幅提升算法性能，降低计算成本。

2. 创新方法：EPLL框架与GMM先验

2.1 核心思路：Expected Patch Log Likelihood（EPLL）

问题：传统块平均法（Patch Averaging）在整图修复中因块间不连续产生伪影（如边界 artifacts）。

创新：提出EPLL框架，通过最大化重建图像中所有重叠块的期望对数似然，约束图像整体一致性。

“We wish to find a reconstructed image in which every patch is likely under our prior while keeping it close to the corrupted image.”

数学定义（Eq. 1）：
$${\text{EPLL}}_p(x)=\sum _i\log p(P_{i}x)$$
其中：

• $x$：向量化重建图像
• $P_i$：提取第 $i$ 个重叠块（尺寸 $8\times 8$) 的矩阵
• $p$：块先验概率模型

退化模型扩展（Eq. 2）：
给定退化图像 $y$ 和先验 $p$，目标函数为：
$$f_p(x\mid y)=\frac{\lambda }{2}\Vert Ax-y{\Vert }^2-\underset{{\text{EPLL}}_p(x)}{\underbrace{\sum _i\log p(P_{i}x)}}$$

• $x$：重建图像（向量化）；
• $P_i$：提取第 $i$ 个重叠块的矩阵；
• $\lambda$：退化模型权重（如噪声水平 $\lambda \propto 1/{\sigma }^2$)；
• $A$：退化算子（如去模糊时为卷积矩阵）。

2.2 优化：半二次分裂（Half Quadratic Splitting）

挑战：直接优化 Eq. 2 因 $\log p(P_{i}x)$ 非凸而困难。
解决方案：引入辅助变量 { z i } \{z^i\} { zi} 逼近每个块 P i x P_i x