用线性代数推导码分多址（CDMA）

什么是码分多址

码分多址：CDMA允许多个用户同时、在同一频率上传输数据。它通过给每个用户分配唯一的、相互正交的二进制序列来实现区分。用户的数据比特被这个码片序列扩展成一个高速率的信号，然后在接收端通过相同的码片序列进行相关运算来回复原数据

关键概念

• 比特：用户要发送的原始数据（0/1）
• 码片：组成码片序列的单个二进制元素（通常+1和-1表示）
• 码片序列：分配给用户的唯一二进制序列。它的长度（码片速率）远高于原始数据比特的速率（比特速率）。$码片速率/比特速率=扩频因子$
• 正交性：两个码片序列A和B正交，当且仅当它们的归一化内积为0：$(A\cdot B)/N=0$，其中N为序列长度
• 扩频：用码片序列调制数据比特的过程，将窄带信号转换为宽带信号
• 解扩/相关：接收端用发送端相同的码片序列与接收到的混合信号进行内积运算，回复原始数据比特的过程

CDMA 完整流程

1. 分配码片序列

   • 在通信开始前，基站为每个需要同时通信的用户分配唯一的、预先定义好的、相互正交的二进制序列

2. 发送端数据处理

   • 数据比特准备：用户准备好要发送的原始数据比特
   • 比特到符号的映射（可选）：为了简化处理，通常将比特0映射为符号-1，将比特1映射为+1，我们记这个符号为D(D = -1或D = +1)
   • 扩频
     • 用户使用分配给自己的码片序列C = [c1, c2, c3, ..., cN]（其中每个ci是+1或-1）对数据符号D进行调制
     • 将码片序列C乘以数据符号D
     • 生成一个扩展后的信号序列$S=D\ast C=[D\ast c1,D\ast c2,D\ast c3,...,D\ast cN]$
     • 如果D = +1 则S就是C本身（原码），如果D = -1 则S就是C取反（反码）
     • 带宽扩展：原始数据比特D的持续时间被扩展成N个码片的持续时间。信号带宽被扩展了N倍（扩频因子为N）

3. 空中接口（混合信号）

   • 所有用户的扩展后信号序列 S_user1, S_user2, ..., S_userK，同时在同一个无线信道上传输
   • 在接收天线处，接收到的信号R是所有这些用户扩展信号的线性叠加，再加上噪声Noise，即：$S_{u}ser1+S_{u}ser2+...+S_{u}serK+Noise$

4. 接收端解码

   • 设接收端想要回复User X的数据
   • 解扩/相关
     • 接收端用接收到的混合信号R与User X的码片序列cx进行逐码片相乘
     • 对相乘后的结果进行求和，并将求和结果除以码片序列长度N（归一化）
     • 即：$Result=(R\cdot Cx)/N=([R1,R2,...,RN]\cdot [Cx1,Cx2,...,CxN])/N=(R1\ast Cx1+R2\ast Cx2+...+RN\ast CxN)/N$

5. 解释结果：

   • 由于码片序列的正交性，其他用户的信号（S_userY, Y≠X）与 Cx 的相关结果理论上接近于 0（理想正交时为 0），它们的影响被极大地抑制了。
   • 噪声的影响会被平均掉一部分（处理增益）。
   • 目标用户 User X 的信号 Sx = Dx * Cx 与 Cx 的相关结果为：
     (Sx • Cx) / N = ((Dx * Cx) • Cx) / N = Dx * (Cx • Cx) / N = Dx * (N) / N = Dx
     • 因为 (Cx • Cx) = c1*c1 + c2*c2 + ... + cN*cN = (+1或-1的平方和) = N。
   • 因此，最终的相关结果 Result ≈ Dx（目标用户发送的原始符号，+1 或 -1）。

6. 符号到比特映射

   • 如果 Result > 0（接近 +1），则判决为比特 1。
   • 如果 Result < 0（接近 -1），则判决为比特 0。

具体举例

场景： 两个用户 Alice (A) 和 Bob (B) 要同时向基站发送数据。基站使用长度为 4 的 Walsh 码。
分配码片序列：

• Alice (A) 的码片序列： Ca = [+1, +1, +1, +1]
• Bob (B) 的码片序列： Cb = [+1, -1, +1, -1]
• 验证正交性：(Ca • Cb) / 4 = ((+1)(+1) + (+1)(-1) + (+1)(+1) + (+1)(-1)) / 4 = (1 -1 +1 -1)/4 = 0/4 = 0。完美正交。

发送数据：

1. Alice 要发送比特 1：
   • 映射为符号 Da = +1。
   • 扩频：Sa = Da * Ca = (+1) * [+1, +1, +1, +1] = [+1, +1, +1, +1]
2. Bob 要发送比特 0：
   • 映射为符号 Db = -1。
   • 扩频：Sb = Db * Cb = (-1) * [+1, -1, +1, -1] = [-1, +1, -1, +1]

空中混合信号 R：
R = Sa + Sb = [+1, +1, +1, +1] + [-1, +1, -1, +1] = [ (1-1), (1+1), (1-1), (1+1) ] = [0, +2, 0, +2]

基站接收并解码：

• 解码 Alice 的数据 (使用 Ca = [+1, +1, +1, +1]):

  1. 逐码片相乘：R * Ca = [0*+1, +2*+1, 0*+1, +2*+1] = [0, +2, 0, +2]
  2. 求和：0 + 2 + 0 + 2 = +4
  3. 归一化：Result_A = +4 / 4 = +1
  4. 判决：+1 > 0 => 比特 1 (Alice 发送的数据正确恢复)。

• 解码 Bob 的数据 (使用 Cb = [+1, -1, +1, -1]):

  1. 逐码片相乘：R * Cb = [0*+1, +2*(-1), 0*+1, +2*(-1)] = [0, -2, 0, -2]
  2. 求和：0 + (-2) + 0 + (-2) = -4
  3. 归一化：Result_B = -4 / 4 = -1
  4. 判决：-1 < 0 => 比特 0 (Bob 发送的数据正确恢复)。

CDMA线代推导

假设有k个用户共享信道，码片序列长度为m（要求$k\le m$，以确保正交向量组存在），码向量${\mathbf{c}}_1,{\mathbf{c}}_2,\dots ,{\mathbf{c}}_k$构成正交向量组，且假设已归一化，即$(\Vert {\mathbf{c}}_i{\Vert }^2=1$，非归一化情况将在后面讨论)

1. 码序列的正交条件

   • 码向量满足
     $${\mathbf{c}}_i\cdot {\mathbf{c}}_j=\{\begin{array}{ll}1& \text{if }i=j\\ 0& \text{if }i\ne j\end{array}$$
     这等价于码序列矩阵 $(C=[{\mathbf{c}}_1,{\mathbf{c}}_2,\dots ,{\mathbf{c}}_k])$的列向量组是标准正交向量组，即 $(C^{T}C=I_k)$（$(k\times k)$ 单位矩阵）

2. 信号生成

   • 每个用户 发送数据$d_i$（例如二进制系统的$d_i=\pm 1$）
   • 发送信号是码向量的线性组合：
     $$\mathbf{s}=\sum _{i=1}^k{d}_i{\mathbf{c}}_i$$
     这里，$\mathbf{s}\in {\mathbb{R}}^m$ 是叠加后的信号向量

3. 接收信号模型

   • 接收端收到信号 $\mathbf{r}$（忽略噪声）：
     $$\mathbf{r}=\mathbf{s}=\sum _{i=1}^k{d}_i{\mathbf{c}}_i$$
     实际中包括噪声 $\mathbf{n}$，但为简化，假设 $\mathbf{n}=0$。

4. 信号分离（关键步骤！！）

   • 接收端计算 $\mathbf{r}$ 与用户 j 的码向量 ${\mathbf{c}}_j$ 的内积：
     $$y_j=\mathbf{r}\cdot {\mathbf{c}}_j=\left(\sum _{i=1}^k{d}_i{\mathbf{c}}_i\right)\cdot {\mathbf{c}}_j$$
   • 由内积的线性性质
     $$y_j=\sum _{i=1}^k{d}_i({\mathbf{c}}_i\cdot {\mathbf{c}}_j)$$
   • 由正交性，${\mathbf{c}}_i\cdot {\mathbf{c}}_j=0$ 当 $i\ne j$，且 ${\mathbf{c}}_j\cdot {\mathbf{c}}_j=1$
     $$y_j=d_j({\mathbf{c}}_j\cdot {\mathbf{c}}_j)+\sum _{i\ne j}{d}_i({\mathbf{c}}_i\cdot {\mathbf{c}}_j)=d_j\cdot 1+\sum _{i\ne j}{d}_i\cdot 0=d_j$$
     因此，接收端完美提取用户 j 的数据：$d_j=y_j$。

扩展到非归一化码序列

实际系统中，码序列可能未归一化（例如，使用二进制序列 {±1}\{\pm 1\}{±1}）。设 $\Vert {\mathbf{c}}_j{\Vert }^2={\mathbf{c}}_j\cdot {\mathbf{c}}_j\ne 1$，但正交性仍保持：${\mathbf{c}}_i\cdot {\mathbf{c}}_j=0$（当 $i\ne j$）。

• 发送信号仍为 $\mathbf{r}={\sum }_{i=1}^k{d}_i{\mathbf{c}}_i$。
• 分离时：
  $$y_j=\mathbf{r}\cdot {\mathbf{c}}_j=d_j({\mathbf{c}}_j\cdot {\mathbf{c}}_j)+\sum _{i\ne j}{d}_i({\mathbf{c}}_i\cdot {\mathbf{c}}_j)=d_j\Vert {\mathbf{c}}_j{\Vert }^2$$
• 因此，数据恢复为：
  $$d_j=\frac{y_j}{\Vert {\mathbf{c}}_j{\Vert }^2}$$
  这里，$\Vert {\mathbf{c}}_j{\Vert }^2$ 是码向量的范数平方（能量），在接收端已知。