1.二叉搜索树的概念
⼆叉搜索树⼜称⼆叉排序树，它或者是⼀棵空树，或者是具有以下性质的⼆叉树:
• 若它的左⼦树不为空，则左⼦树上所有结点的值都⼩于等于根结点的值
• 若它的右⼦树不为空，则右⼦树上所有结点的值都⼤于等于根结点的值
• 它的左右⼦树也分别为⼆叉搜索树
• ⼆叉搜索树中可以⽀持插⼊相等的值，也可以不⽀持插⼊相等的值，具体看使⽤场景定义，后续我们学习map/set/multimap/multiset系列容器底层就是⼆叉搜索树，其中map/set不⽀持插⼊相等值，multimap/multiset⽀持插⼊相等值
下图中，左侧的是二叉搜索树，右侧的不是二叉搜索树。
2.二叉搜索树的性能分析
最优情况下，⼆叉搜索树为完全⼆叉树(或者接近完全⼆叉树)，其⾼度为：log2 N
最差情况下，⼆叉搜索树退化为单⽀树(或者类似单⽀)，其⾼度为：N
所以综合⽽⾔⼆叉搜索树增删查改时间复杂度为：O(N)
那么这样的效率显然是⽆法满⾜我们需求的，我们后续课程需要继续讲解⼆叉搜索树的变形，平衡⼆叉搜索树AVL树和红⿊树，才能适⽤于我们在内存中存储和搜索数据。另外需要说明的是，⼆分查找也可以实现O(log2 N) 级别的查找效率，但是⼆分查找有两⼤缺陷：
- 需要存储在⽀持下标随机访问的结构中，并且有序。
- 插⼊和删除数据效率很低，因为存储在下标随机访问的结构中，插⼊和删除数据⼀般需要挪动数据。这⾥也就体现出了平衡⼆叉搜索树的价值。
3.二叉搜索树的实现
3.1节点和框架
// 结构
template<class K>
struct BSTNode
{
K _key;
BSTNode<K>* _left;
BSTNode<K>* _right;
// 默认构造
BSTNode(const K& key)
:_key(key)
,_left(nullptr)
,_right(nullptr)
{}
};
template<class K>
class BSTree
{
// typedef BSTNode<K> Node;
using Node = BSTNode<K>;
private:
Node* _root = nullptr;
};
3.2二叉搜索树的插入
插⼊的具体过程如下：
- 树为空，则直接新增结点，赋值给root指针
- 树不空，按⼆叉搜索树性质，插⼊值⽐当前结点⼤往右⾛，插⼊值⽐当前结点⼩往左⾛，找到空位置，插⼊新结点。
- 如果⽀持插⼊相等的值，插⼊值跟当前结点相等的值可以往右⾛，也可以往左⾛，找到空位置，插⼊新结点。（要注意的是要保持逻辑⼀致性，插⼊相等的值不要⼀会往右⾛，⼀会往左⾛）
注意：需提前保存父节点，这样找到插入点后，能够正确的将新节点连接到树中。
// 不允许插入相同的数字
bool Insert(const K& key)
{
if (_root == nullptr)
{
_root = new Node(key);
return true;
}
Node* cur = _root;
Node* parent = nullptr;
// 新节点需要插入到空位置
while (cur != nullptr)
{
if (key < cur->_key)
{
parent = cur;
cur = cur->_left;
}
else if (key > cur->_key)
{
parent = cur;
cur = cur->_right;
}
else return false;
}
// 找到插入位置了
cur = new Node(key);
if (key < parent->_key) parent->_left = cur;
else parent->_right = cur;
return true;
}
3.3二叉搜索树的查找
- 从根开始⽐较，查找x，x⽐根的值⼤则往右边⾛查找，x⽐根值⼩则往左边⾛查找。
- 最多查找⾼度次，⾛到到空，还没找到，这个值不存在。
- 如果不⽀持插⼊相等的值，找到x即可返回
- 如果⽀持插⼊相等的值，意味着有多个x存在，⼀般要求查找中序的第⼀个x。如下图，查找3，要找到1的右孩⼦的那个3返回
// 不支持插入相同的二叉搜索树
bool Find(const K& key)
{
Node* cur = _root;
while (cur != nullptr)
{
if (cur->_key == key) return true;
else if (cur->_key > key) cur = cur->_left;
else cur = cur->_right;
}
return false;
}
3.4二叉搜索树的删除
⾸先查找元素是否在⼆叉搜索树中，如果不存在，则返回false。
如果查找元素存在则分以下四种情况分别处理：（假设要删除的结点为N）
- 要删除结点N左右孩⼦均为空
- 要删除的结点N左孩⼦位空，右孩⼦结点不为空
- 要删除的结点N右孩⼦位空，左孩⼦结点不为空
- 要删除的结点N左右孩⼦结点均不为空
对应以上四种情况的解决⽅案： - 把N结点的⽗亲对应孩⼦指针指向空，直接删除N结点（情况1可以当成2或者3处理，效果是⼀样的）
- 把N结点的⽗亲对应孩⼦指针指向N的右孩⼦，直接删除N结点
- 把N结点的⽗亲对应孩⼦指针指向N的左孩⼦，直接删除N结点
- ⽆法直接删除N结点，因为N的两个孩⼦⽆处安放，只能⽤替换法删除。找N左⼦树的值最⼤结点R(最右结点)或者N右⼦树的值最⼩结点R(最左结点)替代N，因为这两个结点中任意⼀个，放到N的位置，都满⾜⼆叉搜索树的规则。替代N的意思就是N和R的两个结点的值交换，转⽽变成删除R结点，R结点符合情况2或情况3，可以直接删除。
上述四种情况可以归类成两种
- 删除节点只有至多一个孩子（没有孩子或者只有一个孩子）
- 删除节点有两个孩子
下图这种情况就是至多有一个孩子的，我们第一步需要改变要删除的节点的父节点的指向，然后删除该节点，如果要删除的节点有孩子，其父节点指向其孩子，如果要删除的节点没有孩子，其父节点指向空。
（需要特殊考虑删除的是否是根节点）
下图这种情况就是有两个孩子的情况，我们需要先找到替代节点，此节点可以是左子树的最右节点，也可以是右子树的最左节点，下图是以找右子树的最左节点作为替代节点为例。
我们找到替代节点后，需要先将要删除的节点的key值变为替代节点的key值，第二步我们需要改变替代节点的父节点的指向，因为替代节点可能存在孩子，我们需要将其父节点与其子节点之间进行连接。最后我们释放掉替代节点。
（同样需要特殊注意要删除的节点是否是父节点）
bool Erase(const K& key)
{
Node* parent = nullptr;
Node* cur = _root;
while (cur != nullptr)
{
if (cur->_key > key)
{
parent = cur;
cur = cur->_left;
}
else if (cur->_key < key)
{
parent = cur;
cur = cur->_right;
}
else
{
// 如果删除的是头节点
// 没孩子或只有一个孩子可以归类为一种情况
// 左为空
if (cur->_left == nullptr)
{
// 如果删除的是头节点
if (cur == _root) _root = cur->_right;
else
{
if (parent->_left == cur) parent->_left = cur->_right;
else parent->_right = cur->_right;
}
delete cur;
}
else if(cur->_right==__nullptr)
{
if (cur == _root) _root = cur->_left;
else
{
if (parent->_left == cur) parent->_left = cur->_left;
else parent->_right = cur->_left;
}
delete cur;
}
// 有两个孩子,需要挑选左子树的最右节点/右子树的最左节点充当该节点
else
{
// 找右子树的最左节点
Node* replaceParent = cur;
Node* replace = cur->_right;
while (replace->_left != nullptr)
{
replaceParent = replace;
replace = replace->_left;
}
// 交换删除节点和替代节点的值
cur->_key = replace->_key;
//需要考虑这个最左节点有没有右孩子,同时也需要改变其父节点的指向
if(replaceParent->_right==replace)// 右子树没有左孩子的情况
replaceParent->_right = replace->_right;
else
replaceParent->_left = replace->_right;
// 删除替换节点即可
delete replace;
}
return true;
}
}
// 数据不存在
return false;
}
3.4二叉搜索树的中序遍历
因为遍历二叉搜索树需要根节点，而根节点_root是类里的私有成员变量，所以我们可以写一个富辅助函数。
Inorder()是共有的接口函数，用于对外提供中序遍历的功能
_Inorder()是私有的辅助函数，负责实际的递归遍历逻辑
void Inorder()
{
// 因为遍历需要头节点，但_root是私有的,在外面不能直接调用
_Inorder(_root);
cout << endl;
}
private:
void _Inorder(Node* root)
{
if (root == nullptr) return;
_Inorder(root->_left);
cout << root->_key << " ";
_Inorder(root->_right);
}
Node* _root = nullptr;
3.5二叉搜索树的拷贝构造
因为拷贝构造需要用到根节点_root，又因为_root是私有成员变量，所以我们可以写一个辅助函数来完成拷贝构造
Copy()是私有辅助函数，用于完成二叉搜索树的拷贝
BSTree(const BSTree& t)是共有的接口函数，用于对外提供拷贝功能
(如果不写拷贝构造函数的话，默认是浅拷贝，即两个指针指向同一块地址)
(因为写了拷贝构造，不会生成默认构造函数，会导致创建对象的时候没有合适的默认构造可以使用，C++11支持强制生成)
默认函数=default即可强制生成想要的默认函数
// 因为写了拷贝构造，不会生成默认构造函数，C++11支持强制生成
BSTree() = default;// 强制生成默认构造
BSTree(const BSTree& t)
{
_root = Copy(t._root);
}
private:
Node* Copy(Node* root)
{
if (root == nullptr) return nullptr;
// Node* newRoot = root;的话是浅拷贝
Node* newRoot = new Node(root->_key);
newRoot->_left = Copy(root->_left);
newRoot->_right = Copy(root->_right);
return newRoot;
}
3.5二叉搜索树的复制运算符重载
这边我们的形参用的是临时对象，对形参的改变不会影响实参，所以我们可以直接将根节点进行交换，原本的_root给给了tmp，出了这个函数后tmp也会自动销毁
BSTree& operator=(BSTree tmp)
{
swap(_root, tmp._root);
return *this;
}
3.6二叉搜索树的析构
因为析构需要用到根节点，所以我们使用辅助函数来完成析构。
析构我们采用的是先序后序遍历，先析构左右孩子在析构根节点，保证所有节点都得到析构。
~BSTree()
{
Destory(_root);
_root = nullptr;
}
private:
void Destory(Node* root)
{
if (root == nullptr) return;
Destory(root->_left);
Destory(root->_right);
delete root;
}
4.二叉搜索树key和key/value使用场景
4.1key搜索场景
只有key作为关键码，结构中只需要存储key即可，关键码即为需要搜索到的值，搜索场景只需要判断key在不在。key的搜索场景实现的⼆叉树搜索树⽀持增删查，但是不⽀持修改，修改key破坏搜索树结构了。
场景1：⼩区⽆⼈值守⻋库，⼩区⻋库买了⻋位的业主⻋才能进⼩区，那么物业会把买了⻋位的业主的⻋牌号录⼊后台系统，⻋辆进⼊时扫描⻋牌在不在系统中，在则抬杆，不在则提⽰⾮本⼩区⻋辆，⽆法进⼊。
场景2：检查⼀篇英⽂ 章单词拼写是否正确，将词库中所有单词放⼊⼆叉搜索树，读取⽂章中的单词，查找是否在⼆叉搜索树中，不在则波浪线标红提⽰。
（上述第三点讲的就是key二叉搜索树的实现）
4.2key_value搜索场景
每⼀个关键码key，都有与之对应的值value，value可以任意类型对象。树的结构中(结点)除了需要存储key还要存储对应的value，增/删/查还是以key为关键字⾛⼆叉搜索树的规则进⾏⽐较，可以快速查找到key对应的value。key/value的搜索场景实现的⼆叉树搜索树⽀持修改，但是不⽀持修改key，修改key破坏搜索树性质了，可以修改value。
场景1：简单中英互译字典，树的结构中(结点)存储key(英⽂)和vlaue(中⽂)，搜索时输⼊英⽂，则同时查找到了英⽂对应的中⽂。
场景2：商场⽆⼈值守⻋库，⼊⼝进场时扫描⻋牌，记录⻋牌和⼊场时间，出⼝离场时，扫描⻋牌，查找⼊场时间，⽤当前时间-⼊场时间计算出停⻋时⻓，计算出停⻋费⽤，缴费后抬杆，⻋辆离场。
场景3：统计⼀篇⽂章中单词出现的次数，读取⼀个单词，查找单词是否存在，不存在这个说明第⼀次出现，（单词，1），单词存在，则++单词对应的次数。
namespace key_value
{
// 结构
template<class K,class V>
struct BSTNode
{
K _key;
V _value;
BSTNode<K, V>* _left;
BSTNode<K, V>* _right;
// 默认构造
BSTNode(const K& key,const V& value)
:_key(key)
, _value(value)
, _left(nullptr)
, _right(nullptr)
{}
};
template<class K,class V>
class BSTree
{
// typedef BSTNode<K> Node;
using Node = BSTNode<K,V>;
public:
// 因为写了拷贝构造，不会生成默认构造函数，C++11支持强制生成
BSTree() = default;// 强制生成默认构造
BSTree(const BSTree& t)
{
_root = Copy(t._root);
}
BSTree& operator=(BSTree tmp)
{
swap(_root, tmp._root);
return *this;
}
~BSTree()
{
Destory(_root);
_root = nullptr;
}
// 不允许插入相同的数字
bool Insert(const K& key,const V& value)
{
if (_root == nullptr)
{
_root = new Node(key,value);
return true;
}
Node* cur = _root;
Node* parent = nullptr;
// 新节点需要插入到空位置
while (cur != nullptr)
{
if (key < cur->_key)
{
parent = cur;
cur = cur->_left;
}
else if (key > cur->_key)
{
parent = cur;
cur = cur->_right;
}
else return false;
}
// 找到插入位置了
cur = new Node(key,value);
if (key < parent->_key) parent->_left = cur;
else parent->_right = cur;
return true;
}
Node* Find(const K& key)
{
Node* cur = _root;
while (cur != nullptr)
{
if (cur->_key == key) return cur;
else if (cur->_key > key) cur = cur->_left;
else cur = cur->_right;
}
return nullptr;
}
bool Erase(const K& key)
{
Node* parent = nullptr;
Node* cur = _root;
while (cur != nullptr)
{
if (cur->_key > key)
{
parent = cur;
cur = cur->_left;
}
else if (cur->_key < key)
{
parent = cur;
cur = cur->_right;
}
else
{
// 如果删除的是头节点
// 没孩子或只有一个孩子可以归类为一种情况
// 左为空
if (cur->_left == nullptr)
{
// 如果删除的是头节点
if (cur == _root) _root = cur->_right;
else
{
if (parent->_left == cur) parent->_left = cur->_right;
else parent->_right = cur->_right;
}
delete cur;
}
else if (cur->_right == __nullptr)
{
if (cur == _root) _root = cur->_left;
else
{
if (parent->_left == cur) parent->_left = cur->_left;
else parent->_right = cur->_left;
}
delete cur;
}
// 有两个孩子,需要挑选左子树的最右节点/右子树的最左节点充当该节点
else
{
// 找右子树的最左节点
Node* replaceParent = cur;
Node* replace = cur->_right;
while (replace->_left != nullptr)
{
replaceParent = replace;
replace = replace->_left;
}
// 交换删除节点和替代节点的值
cur->_key = replace->_key;
//需要考虑这个最左节点有没有右孩子,同时也需要改变其父节点的指向
if (replaceParent->_right == replace)// 右子树没有左孩子的情况
replaceParent->_right = replace->_right;
else
replaceParent->_left = replace->_right;
// 删除替换节点即可
delete replace;
}
return true;
}
}
// 数据不存在
return false;
}
// 中序遍历二叉搜索树
void Inorder()
{
// 因为遍历需要头节点，但_root是私有的,在外面不能直接调用
_Inorder(_root);
cout << endl;
}
private:
void _Inorder(Node* root)
{
if (root == nullptr) return;
_Inorder(root->_left);
cout << root->_key << ":" << root->_value << endl;
_Inorder(root->_right);
}
Node* Copy(Node* root)
{
if (root == nullptr) return nullptr;
Node* newRoot = new Node(root->_key,root->_value);
newRoot->_left = Copy(root->_left);
newRoot->_right = Copy(root->_right);
return newRoot;
}
void Destory(Node* root)
{
if (root == nullptr) return;
Destory(root->_left);
Destory(root->_right);
delete root;
}
Node* _root = nullptr;
};
}