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从定义出发 —— 什么是多项式？
数学中，一个一元多项式是由多个项（term）构成的，每一项的形式是：
系数 × 变量的幂次
一个一元多项式（single-variable polynomial）是形如：
P(x) = a0 + a1*x + a2*x^2 + ... + an*x^n
其中：
x是变量a0, a1, ..., an是对应每一项的 系数（coefficient）每个 x^k 是幂次，k 是“指数”或“指数幂”（exponent）
n是多项式的 最高次数（degree）
举个例子：P(x) = 5*x^3 + 0*x^2 + 2*x + 7
可以看成是 4 项相加：
第 1 项：5*x^3
第 2 项：0*x^2（虽然结果是0，我们还是可以记下来）
第 3 项：2*x
第 4 项：7 （可以看作 7*x^0）
目标本质是什么？
我们想要用程序的结构（数组、结构体、链表等）去保存这个多项式里的每一项。
所以我们先来思考：
一个多项式项（term）需要保存什么信息？
答：两个信息：
系数（例如：5）
指数（例如：3）
我们要解决的问题是：如何使用 C 语言的数据结构来存储这样的“系数-指数”对的集合？
探索表示方式
第一步：如何表示一个项？
假设我们有这个多项式：P(x) = 5*x^4 + 0*x^3 + 2*x^1 + 7
如何表示
(a2, 2)(系数, 指数) 这样的东西？
我们尝试用一个数组 int coef[] 表示
coef[0] = 7; // x^0
coef[1] = 2; // x^1
coef[2] = 0; // x^2
coef[3] = 0; // x^3
coef[4] = 5; // x^4
问题是：
当指数变大（比如出现 x^100），我们就得分配很多空间，即使很多项为 0。
我们实际上只关心那些“系数 ≠ 0 的项”，不想保存无效信息。
我们希望两个整数能绑在一起。C语言中，我们最基础的方法是结构体。
✅ 结论：我们只保存“有效项”（即系数不为 0 的项），每一项用结构体 Term 表示：
struct Term {
int coef; // 系数
int exp; // 指数
};
第二步：如何存多个项？
一个多项式是多个项的集合。
从数据的角度，我们有以下需求：表示一组结构体 Term，存储在一起，方便访问
最直接的方式是：数组
为什么用数组？因为数组是连续的、可以用索引访问、逻辑简单。
为什么不用链表？我们现在先只讲“数组表示法”。
一个多项式是若干个 Term 构成的，我们就可以开一个结构体数组：
struct Term terms[100];
⚠️ 但又出现一个新问题：
数组开了 10 个，但我们实际也许只用了 3 个项。我们就必须知道：
当前实际用了几个项？
所以我们需要一个变量：记录项数
我们可以定义：
int n; // 表示多项式实际的项数
这时，我们可以有两个变量：
n表示实际项数terms[n]表示 n 个项，每个项是 (coef, exp)
第三步：再抽象一点，用结构体封装多项式
多项式本质上就是一组“项” + 这组项的个数
因此，我们用一个结构体 Polynomial 来封装这个“多项式”：
struct Polynomial {
int n; // 实际有效项数
struct Term* t; // 指向 Term 数组的指针
};
为什么用 Term* t 而不是 Term t[100]？
两个原因：
多项式的项数不固定，想动态创建
t是一个指针，更灵活，可传参、分配空间
我们可以在运行时这样写：
poly.n = 3;
poly.t = (struct Term*) malloc(poly.n * sizeof(struct Term));
到目前为止，我们得到了：
每一项：用
Term表示(coef, exp)多项式：用
Polynomial表示一组 Term 和项数 n
示例推导
表示多项式：P(x) = 3*x^5 + 2*x^2 + 7
我们一步步来看：
第一步：有几项？
答案是 3 项，对应：
| 系数 | 指数 |
|---|---|
| 3 | 5 |
| 2 | 2 |
| 7 | 0 |
第二步：准备数据结构
struct Polynomial p;
p.n = 3;
p.t = (struct Term*) malloc(p.n * sizeof(struct Term));
第三步：填充每一项
p.t[0].coef = 3; p.t[0].exp = 5;
p.t[1].coef = 2; p.t[1].exp = 2;
p.t[2].coef = 7; p.t[2].exp = 0;
完整代码
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
// 表示一项：coef * x^exp
struct Term {
int coef;
int exp;
};
// 表示一个多项式：n 个项，t 指向这些项
struct Polynomial {
int n;
struct Term* t;
};
int main() {
// 1. 创建一个多项式变量
struct Polynomial p;
// 2. 指定这个多项式有 3 项
p.n = 3;
// 3. 分配数组空间来存这 3 项
p.t = (struct Term*) malloc(p.n * sizeof(struct Term));
// 4. 设置每一项：P(x) = 3*x^5 + 2*x^2 + 7
p.t[0].coef = 3; p.t[0].exp = 5;
p.t[1].coef = 2; p.t[1].exp = 2;
p.t[2].coef = 7; p.t[2].exp = 0;
// 5. 打印多项式
printf("P(x) = ");
for (int i = 0; i < p.n; i++) {
printf("%d*x^%d", p.t[i].coef, p.t[i].exp);
if (i != p.n - 1) printf(" + ");
}
printf("\n");
// 6. 释放空间
free(p.t);
return 0;
}