【SDR】AM--＞DSB--＞SSB调制的数学分析和python演示,接收SSB后CW、FT8、WSPR、RTTY模式需要解码

1. AM（幅度调制）的基本原理

AM通过将基带信号 ( $m(t)$ ) 叠加到载波上，保留载波分量和两个边带：

• 时域表达式：
  $$s_{\text{AM}}(t)=[A_0+m(t)]\cos ({\omega }_{c}t)=A_0\cos ({\omega }_{c}t)+m(t)\cos ({\omega }_{c}t)$$
  • ( $A_0\cos ({\omega }_{c}t)$ )：载波项（不携带信息，功率占比高）。
  • ( $m(t)\cos ({\omega }_{c}t)$ )：边带项（携带信息）。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.fft import fft, fftfreq

# 参数设置
fs = 1000  # 采样频率 (Hz)
t = np.linspace(0, 1, fs)  # 时间轴 (1秒)
fm = 10    # 基带信号频率 (Hz)
fc = 100   # 载波频率 (Hz)
A0 = 1     # 直流分量
Ma = 0.5   # 调制指数

# 生成基带信号和载波
m_t = np.sin(2 * np.pi * fm * t)          # 基带信号
c_t = np.cos(2 * np.pi * fc * t)          # 载波信号
s_am = (A0 + Ma * m_t) * c_t              # AM调制信号

# 绘制时域波形
plt.figure(figsize=(12, 4))
plt.plot(t, s_am, label='AM信号')
plt.plot(t, A0 + Ma * m_t, 'r--', label='包络线')
plt.xlabel('时间 (s)')
plt.ylabel('幅度')
plt.title('AM信号时域波形 (调制指数=0.5)')
plt.legend()
plt.grid()
plt.show()

• 频域表达式：
  AM（幅度调制）的频域表达式揭示了信号在频率域的结构特性，其核心是通过傅里叶变换将时域信号转换为频域表示，从而分析频谱成分和带宽需求。
  $$S_{\text{AM}}(\omega )=\pi A_0[\delta (\omega +{\omega }_c)+\delta (\omega -{\omega }_c)]+\frac{1}{2}[M(\omega +{\omega }_c)+M(\omega -{\omega }_c)]$$

  • 带宽：( $2f_m$ )（( $f_m$ )为基带信号最高频率）。
  • 调制效率低（≤33%），因载波功率冗余。

• 载波分量：($\pi A_0\left[\delta (\omega +{\omega }_c)+\delta (\omega -{\omega }_c)\right]$) 表示载波频率 (${\omega }_c$) 处的冲激函数，对应直流分量 ($A_0$) 的贡献。

• 边带分量：($\frac{1}{2}\left[M(\omega +{\omega }_c)+M(\omega -{\omega }_c)\right]$) 是调制信号 (m(t)) 的频谱 ($M(\omega )$) 搬移到载波两侧的结果，形成上边带（USB）和下边带（LSB）。

• 载波与边带：AM信号的频谱包含三部分：

  • 载波：位于 ($\pm {\omega }_c$) 的离散谱线，功率为 ($A_0^2/2$)，不携带信息。
  • 上边带（USB）：频谱结构与 ($M(\omega )$) 相同，位于 (${\omega }_c$) 右侧。
  • 下边带（LSB）：是上边带的镜像，位于 (${\omega }_c$) 左侧。

• 带宽：若基带信号带宽为 ($f_H$)，则AM带宽为 ($B_{AM}=2f_H$)（双边带）。

调制效率与功率分配

• 功率分配：AM信号总功率 ($P_{AM}$) 包含载波功率 ($P_c=A_0^2/2$) 和边带功率 ($P_s=\overline{m^2(t)}/2$)。
• 调制效率：定义为边带功率与总功率之比：
  $${\eta }_{AM}=\frac{P_s}{P_{AM}}=\frac{\overline{m^2(t)}}{A_0^2+\overline{m^2(t)}}$$
  当调制信号为单频信号时，最大效率仅33%，说明大部分功率浪费在载波上。

物理意义

• 频谱搬移：AM通过乘法器将基带信号频谱线性搬移到载波频率附近，实现频带适配。
• 冗余性：上下边带携带相同信息，载波无信息，导致频谱和功率利用率低，但解调简单（包络检波）。

对 $[A_0+m(t)]\cos ({\omega }_{c}t)$包络检波的目标是提取 $[A_0+m(t)]$，二极管峰值包络检波器：输入信号 → 二极管 → RC并联（R=10kΩ, C=0.1μF） → 输出低频信号

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# 生成AM信号
fs = 1000  # 采样率
t = np.linspace(0, 1, fs)
fm, fc = 5, 50  # 基带和载波频率
m_t = 0.5 * np.sin(2 * np.pi * fm * t)  # 调制信号
am_signal = (1 + m_t) * np.cos(2 * np.pi * fc * t)  # AM信号

# 模拟二极管半波整流
rectified = np.maximum(am_signal, 0)  # 半波整流

# RC低通滤波（时间常数τ=RC需满足1/fc ≪ τ ≪ 1/fm）
alpha = 0.01  # 滤波系数（与RC相关）
envelope = np.zeros_like(rectified)
envelope[0] = rectified[0]
for i in range(1, len(rectified)):
    envelope[i] = alpha * rectified[i] + (1 - alpha) * envelope[i-1]  # 一阶低通滤波

# 可视化
plt.figure(figsize=(12, 6))
plt.plot(t, am_signal, label='AM信号')
plt.plot(t, envelope, 'r', linewidth=2, label='包络检波输出')
plt.xlabel('时间 (s)')
plt.ylabel('幅度')
plt.legend()
plt.grid()
plt.show()

检波输出为 $[A_0+m(t)]$，去除直流分量 A0​ 后即为原始信号 m(t)（如AM广播中的音频信号）

2. DSB（双边带调制）的改进

DSB抑制载波，仅保留两个边带，提升功率效率：

• 时域表达式：
  $$s_{\text{DSB}}(t)=m(t)\cos ({\omega }_{c}t)$$
  • 直接由AM去掉直流分量 ( A_0 ) 得到。
• 频域表达式：
  $$S_{\text{DSB}}(\omega )=\frac{1}{2}[M(\omega +{\omega }_c)+M(\omega -{\omega }_c)]$$
  • 带宽仍为 ( 2f_m )，但调制效率达100%（无载波功率浪费）。
  • 需相干解调（包络检波失效,含负值（如正弦波）,包络检波会丢失符号信息，导致输出失真。）。
    
    DSB信号需通过相干解调（同步检波）恢复原始信号，步骤如下：

​信号混频​：将DSB信号与同频同相的载波相乘。
​低通滤波​：滤除高频分量，保留基带信号。

# 完整DSB相干解调代码
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.signal import butter, filtfilt

# 参数设置
fs, fm, fc, Am = 1000, 5, 50, 0.8
t = np.linspace(0, 1, fs)

# 1. 生成DSB信号，DSB信号由基带信号与载波直接相乘生成，频谱中无载波分量，仅保留上下边带
m_t = Am * np.sin(2 * np.pi * fm * t)
s_dsb = m_t * np.cos(2 * np.pi * fc * t)

# 2. 相干解调，本地载波（假设完美同步）
local_carrier = np.cos(2 * np.pi * fc * t)
demodulated = s_dsb * local_carrier# 输出含基带与高频分量

# 3. 低通滤波，设计低通滤波器（截止频率略高于fm）
b, a = butter(5, fm * 1.2 / (fs / 2), 'low')
m_recovered = filtfilt(b, a, demodulated) * 2

# 4. 绘图
fig, axs = plt.subplots(3, 1, figsize=(12, 8))
axs[0].plot(t, s_dsb)
axs[0].set_title('DSB调制信号')
axs[1].plot(t, demodulated)
axs[1].set_title('混频后信号')
axs[2].plot(t, m_recovered, 'g', label='解调输出')
axs[2].plot(t, m_t, 'r--', label='原始信号')
axs[2].set_title('恢复的基带信号')
axs[2].legend()
plt.tight_layout()
plt.show()

3. SSB（单边带调制）的进一步优化

SSB通过滤除一个冗余边带，节省带宽和功率：

• 实现方法：
  • 滤波法：生成DSB后，用带通滤波器滤除一个边带（需陡峭截止特性）。
  • 相移法：利用希尔伯特变换构造正交分量，(希尔伯特变换构造调制信号的正交分量（即原信号的90°相移版本），再与载波的正交分量混合),数学表达式为：
    • 上边带（USB）：
      $$s_{\text{SSB-USB}}(t)=\frac{1}{2}[m(t)\cos ({\omega }_{c}t)-\hat{m}(t)\sin ({\omega }_{c}t)]$$
    • 下边带（LSB）：
      $$s_{\text{SSB-LSB}}(t)=\frac{1}{2}[m(t)\cos ({\omega }_{c}t)+\hat{m}(t)\sin ({\omega }_{c}t)]$$
    • 其中 ( $\hat{m}(t)$ ) 为 ( $m(t)$ ) 的希尔伯特变换。
• 频域特性：
  • 带宽：( f_m )（比DSB减少50%）。
  • 功率效率100%，且抗干扰能力更强。

希尔伯特变换构造正交分量演示：

import numpy as np
from scipy.signal import hilbert
import matplotlib.pyplot as plt

# 参数设置
fs = 1000  # 采样率
t = np.linspace(0, 1, fs)  # 时间轴
fm, fc = 5, 50  # 基带频率和载波频率
m_t = np.sin(2 * np.pi * fm * t)  # 基带信号（示例为正弦波）

# 1. 计算希尔伯特变换
analytic_signal = hilbert(m_t)  # 解析信号（复数）
m_hilbert = np.imag(analytic_signal)  # 提取正交分量（希尔伯特变换结果）

# 2. 生成SSB信号（以下边带LSB为例）
ssb_lsb = m_t * np.cos(2 * np.pi * fc * t) + m_hilbert * np.sin(2 * np.pi * fc * t)

# 3. 可视化
plt.figure(figsize=(12, 8))
plt.subplot(3, 1, 1)
plt.plot(t, m_t, label='基带信号')
plt.plot(t, m_hilbert, 'r--', label='希尔伯特变换输出')
plt.legend()
plt.title('基带信号及其希尔伯特变换')

plt.subplot(3, 1, 2)
plt.plot(t, np.real(analytic_signal), label='解析信号实部（原始信号）')
plt.plot(t, np.imag(analytic_signal), label='解析信号虚部（正交分量）')
plt.legend()
plt.title('解析信号的实部与虚部')

plt.subplot(3, 1, 3)
plt.plot(t, ssb_lsb, 'g', label='SSB-LSB信号')
plt.legend()
plt.title('生成的单边带信号（下边带）')
plt.tight_layout()
plt.show()

希尔伯特变换
希尔伯特变换生成的解析信号 hilbert(m_t) 的实部与虚部具有明确的物理意义，尤其在信号处理和通信系统中至关重要。
1. 实部与虚部的定义

• 实部：即原始信号 m_t 本身，表示实际采集或传输的物理信号。
• 虚部：通过希尔伯特变换得到的正交分量 np.imag(hilbert(m_t))，是原始信号的90°相移版本。
  数学表达：
  解析信号 ( $z(t)=m(t)+j\hat{m}(t)$ )，其中 ( $\hat{m}(t)$ ) 为虚部（希尔伯特变换结果）。
  2. 物理意义
  (1) 实部（原始信号）
• 物理含义：代表信号的瞬时幅值随时间的变化，是实际可观测的物理量。例如，声波的压力变化或电磁波的电场强度。
• 频域特性：实信号的频谱是共轭对称的，包含正负频率分量，但负频率无独立物理意义，仅数学对称性体现。
  (2) 虚部（希尔伯特变换结果）
• 物理含义：
• 正交分量：虚部与实部相位差90°，构成信号的“正交通道”，用于完整描述信号的瞬时特性（如包络和相位）。
• 单边频谱构造：解析信号 ( z(t) ) 的频谱仅保留正频率分量，消除负频率的冗余信息，便于频域分析和调制解调。
• 频域操作：希尔伯特变换在频域等效于对正频率乘 (-j)（相移-90°），对负频率乘 (j)（相移+90°）。
  4. 示例验证
  以正弦信号 ( $m(t)=\sin (2\pi ft)$ ) 为例：
• 希尔伯特变换：虚部为 ( $-\cos (2\pi ft)$)，与实部构成解析信号 ( $z(t)=\sin (2\pi ft)-j\cos (2\pi ft)=-j{e}^{j2\pi ft}$ )。
• 频谱效果：( z(t) ) 仅保留正频率分量 ( f )，验证了单边谱特性。

通过解析信号实部与虚部的协同作用，希尔伯特变换将一维实信号扩展至复平面，为信号分析提供了更丰富的维度。

# SSB相移法完整代码
import numpy as np
from scipy.signal import hilbert, butter, filtfilt
import matplotlib.pyplot as plt

# 1. 生成信号
fs, fm, fc = 1000, 5, 50
t = np.linspace(0, 1, fs)
m_t = np.sin(2 * np.pi * fm * t)
c_t = np.cos(2 * np.pi * fc * t)

# 2. 希尔伯特变换与SSB调制
m_hilbert = np.imag(hilbert(m_t))
ssb_lsb = m_t * c_t + m_hilbert * np.sin(2 * np.pi * fc * t)

# 3. 解调
demod_lsb = ssb_lsb * c_t
b, a = butter(4, fm/(fs/2), 'low')
m_recovered = filtfilt(b, a, demod_lsb)

# 4. 绘图
fig, axs = plt.subplots(3, 1, figsize=(12, 10))
axs[0].plot(t, m_t, label='基带信号')
axs[0].plot(t, ssb_lsb, 'r', label='SSB-LSB信号')
axs[0].legend()
axs[1].plot(np.fft.fftfreq(len(ssb_lsb), 1/fs)[:fs//2], 
            np.abs(np.fft.fft(ssb_lsb)[:fs//2]))
axs[1].set_title('SSB-LSB频谱')
axs[2].plot(t, m_t, 'b', label='原始信号')
axs[2].plot(t, m_recovered, 'g--', label='解调输出')
axs[2].legend()
plt.tight_layout()
plt.show()

4. 三者的优化关系总结

5 接收SSB后CW、FT8、WSPR、RTTY模式需要解码

CW（连续波）

• 调制类型：CW属于数字调制模式，通过正弦波载波的通断（On-Off Keying, OOK）传递莫尔斯电码信息。
• 数学含义：数学上表示为载波幅度在“1”（通）和“0”（断）之间的切换，可视为幅移键控（ASK）的特例，公式为：
  ( $s(t)=A\cdot \cos (2\pi f_{c}t)\cdot m(t)$ )，其中 ( m(t) ) 为二进制码（0或1）。
• 互通性：CW需通过SSB接收（通常用USB或LSB），但需手动或软件解码莫尔斯电码，无法直接与其他模式互通。

SSB（单边带）
SSB可解调语音或部分数字信号（如RTTY需通过音频耦合），但无法直接解码FT8/WSPR等专用数字模式。

FT8

• 调制类型：FT8为数字操作模式，使用8-FSK（频移键控）调制，属于弱信号通信协议。
• 数学含义：采用8个离散频率音调（间隔6.25 Hz）编码信息，数学形式为：
  ( $s(t)=A\cos [2\pi (f_c+k\cdot \Delta f)t]$ )，其中 ( k ) 为符号索引（0-7）。
• 互通性：需专用软件（如WSJT-X）解码，无法通过SSB或CW接收机直接解调，但可通过SSB接收后输入软件处理。

WSPR

• 调制类型：WSPR是数字信标模式，使用4-FSK调制，专为极弱信号设计。
• 数学含义：类似FT8但仅用4个频率音调，编码效率更低但容错性更强，公式与FT8类似但参数不同。
• 互通性：需专用软件解码，与其他模式不兼容，但可通过SSB接收后转发至解码软件[citation:2][citation:6]。

RTTY（无线电传）

• 调制类型：RTTY使用FSK（频移键控），通过两个频率（MARK/SPACE）表示二进制数据。
• 数学含义：信号表示为：
  ( $s(t)=A\cos [2\pi (f_c+\Delta f\cdot m(t))t]$ )，其中 ( m(t) ) 为±1的二进制数据。
• 互通性：可通过SSB接收后由软件解码（如MMTTY），但需注意边带设置（通常用LSB），与CW/FT8/WSPR不直接兼容。

总结：互通性对比

注意：所有数字模式（FT8/WSPR/RTTY）均可通过SSB接收机的音频输出接入计算机处理，但需正确设置边带和频率偏移。CW和SSB是传统模式，而FT8/WSPR/RTTY需依赖现代数字技术实现互通。