破题点：看到“连续自然数和=完全平方数”，瞬间唤醒等差数列求和公式与平方数的模特征！
📜 问题描述
已知 5+6+7+⋯+n5 + 6 + 7 + \cdots + n5+6+7+⋯+n 是一个完全平方数（即某个整数的平方），下列选项中正确的是（ ）．
A. nnn 的取值有无数个 B. nnn 的最小值小于 15
C. nnn 为奇数 D. n≡4(mod9)n \equiv 4 \pmod{9}n≡4(mod9)
🔍 破题思路
联想等差数列求和公式：
从5到nnn的连续整数和可表示为 (首项+末项)×项数2\dfrac{(\text{首项} + \text{末项}) \times \text{项数}}{2}2(首项+末项)×项数．
项数为 n−4n-4n−4，故和 S=(5+n)(n−4)2S = \dfrac{(5+n)(n-4)}{2}S=2(5+n)(n−4)．
关联平方数性质：
设 S=m2S = m^2S=m2（mmm 为整数），即 (n+5)(n−4)2=m2\dfrac{(n+5)(n-4)}{2} = m^22(n+5)(n−4)=m2．
💡妙招：看到乘积=平方数的结构，果断变形为二元方程，并尝试模分析缩小解的范围！
🧮 关键推导
Step 1：构建方程并变形
(n+5)(n−4)2=m2 ⟹ n2+n−20=2m2\dfrac{(n+5)(n-4)}{2} = m^2 \implies n^2 + n - 20 = 2m^22(n+5)(n−4)=m2⟹n2+n−20=2m2
两边乘4配方：
4n2+4n−80=8m2 ⟹ (2n+1)2−81=8m24n^2 + 4n - 80 = 8m^2 \implies (2n+1)^2 - 81 = 8m^24n2+4n−80=8m2⟹(2n+1)2−81=8m2
移项得：
(2n+1)2−8m2=81（关键方程！）(2n+1)^2 - 8m^2 = 81 \quad \text{（关键方程！）}(2n+1)2−8m2=81（关键方程！）
Step 2：模9分析锁定突破口（⚠️灵魂操作）
对关键方程模9处理：
(2n+1)2−8m2≡0(mod9)(2n+1)^2 - 8m^2 \equiv 0 \pmod{9}(2n+1)2−8m2≡0(mod9)
知识点：平方数模9只能取 {0,1,4,7}\{0, 1, 4, 7\}{0,1,4,7}．
若 (2n+1)2≡0(mod9)(2n+1)^2 \equiv 0 \pmod{9}(2n+1)2≡0(mod9)，则 8m2≡0(mod9)8m^2 \equiv 0 \pmod{9}8m2≡0(mod9) → m2≡0(mod9)m^2 \equiv 0 \pmod{9}m2≡0(mod9) → mmm 和 2n+12n+12n+1 均被3整除．
其他情况同理，最终发现唯一可能：
(2n+1)2≡0(mod9),m2≡0(mod9)(2n+1)^2 \equiv 0 \pmod{9}, \quad m^2 \equiv 0 \pmod{9}(2n+1)2≡0(mod9),m2≡0(mod9)
即 3∣(2n+1)3 \mid (2n+1)3∣(2n+1) 且 3∣m3 \mid m3∣m．
Step 3：降阶为佩尔方程（💡神来之笔）
令 x=2n+13x = \dfrac{2n+1}{3}x=32n+1, y=m3y = \dfrac{m}{3}y=3m，代入方程：
(3x)2−8(3y)2=81 ⟹ x2−8y2=1(3x)^2 - 8(3y)^2 = 81 \implies x^2 - 8y^2 = 1(3x)2−8(3y)2=81⟹x2−8y2=1
佩尔方程（Pell Equation） 出场！其解可表示为：
{xt=(3+22)t+(3−22)t2yt=(3+22)t−(3−22)t42\begin{cases} x_t = \dfrac{ (3 + 2\sqrt{2})^t + (3 - 2\sqrt{2})^t }{2} \\ y_t = \dfrac{ (3 + 2\sqrt{2})^t - (3 - 2\sqrt{2})^t }{4\sqrt{2}} \end{cases}⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧xt=2(3+22)t+(3−22)tyt=42(3+22)t−(3−22)t
冷知识：此解的结构类似斐波那契数列，是线性递推的“表亲”．
Step 4：求解并验证选项
最小解（t=1t=1t=1）：x1=3x_1 = 3x1=3 → n=9×3−12=13n = \dfrac{9 \times 3 - 1}{2} = 13n=29×3−1=13．
✅ 验证：
5+6+⋯+13=81=925+6+\cdots+13=81=9^25+6+⋯+13=81=92，且 13<1513 < 1513<15（B正确）．
通解：n=9xt−12n = \dfrac{9x_t - 1}{2}n=29xt−1 有无穷多组（A正确）．
奇偶性：t=2t=2t=2 时 x2=17x_2=17x2=17 → n=76n=76n=76（偶数），C错误．
模9性质：由 2n+1≡0(mod9)2n+1 \equiv 0 \pmod{9}2n+1≡0(mod9) → n≡4(mod9)n \equiv 4 \pmod{9}n≡4(mod9)（D正确）．
📚 举一反三：破解“数列和=平方数”的通用策略
求和公式化写成 S=f(n)S = f(n)S=f(n)，令其等于 m2m^2m2S=(n+5)(n−4)2=m2S = \dfrac{(n+5)(n-4)}{2} = m^2S=2(n+5)(n−4)=m2
变形整式方程消分母→移项配方→二元不定方程(2n+1)2−8m2=81(2n+1)^2 - 8m^2 = 81(2n+1)2−8m2=81
模分析定特征对模数（如9）分类，排除不可能余数锁定 n≡4(mod9)n \equiv 4 \pmod{9}n≡4(mod9)
降阶求通解换元→简化方程（如佩尔方程）→迭代求解x2−8y2=1x^2 - 8y^2 = 1x2−8y2=1
血泪教训：模分析时若跳过平方数余数检验（如模9），可能漏解或误判！
🥚 课后彩蛋
若数列从 kkk 开始（非5），最小满足条件的 nnn 是多少？
提示：对 k=1k=1k=1，1+2+⋯+8=36=621+2+\cdots+8=36=6^21+2+⋯+8=36=62，此时 n=8n=8n=8．
挑战：你能找到 k=3k=3k=3 的解吗？（答案藏于佩尔方程的某个 ttt 中✨）