模拟退火算法（SA）：零基础小白入门指南
如果你是零基础，想了解什么是模拟退火算法，看完这篇就能懂！我们会用最简单的语言，结合具体例子和代码，带你一步步认识这个强大的优化工具。
一、什么是模拟退火算法？
模拟退火算法（Simulated Annealing，简称 SA）是一种找最优解的方法，就像在迷宫里找出口 —— 它不仅能探索眼前的路，还会偶尔尝试绕远路，避免困在死胡同（局部最优解），最终找到全局最优解。
它的灵感来自物理退火过程：金属加热后慢慢冷却时，原子会逐渐排列成能量最低的稳定状态。算法模仿这个过程：先 “高温” 时大胆探索，再 “降温” 时逐渐稳定，最终找到最优解。
二、核心概念用大白话讲
- 最优解：我们要找的目标。比如 “如何让函数值最小”“如何让成本最低”。
- 适应度函数：判断当前解好不好的标准。比如求函数最小值时，函数值就是适应度，值越小越好。
- 温度：算法 “大胆程度” 的指标。温度高时，敢尝试差的解（绕远路）；温度低时，只接受好的解（走捷径）。
- 邻域函数：生成 “附近的解” 的方法。比如当前位置是（2,3），邻域函数可能生成（2.1,3.2）这样的附近点。
- 降温：温度逐渐降低（比如每次乘以 0.95），让算法从 “探索” 慢慢转向 “收敛”。
三、算法到底在做什么？（以例子为例）
模拟退火算法的步骤就像这样：
- 随便找个起点：比如随机选 x1=0.5，x2=40，x3=60，算出此时的函数值（适应度）。
- 看看附近有没有更好的点：用邻域函数生成一个附近的点（比如 x1=0.52，x2=39.8，x3=60.1），算它的函数值。
- 决定要不要去新点：
- 如果新点的函数值更小（更好），就直接过去；
- 如果新点的函数值更大（更差），也不是完全不去 —— 温度高时可能 “冒险” 过去（比如有 30% 的概率），温度低时就几乎不去了。
- 慢慢降温：每次迭代后温度降低一点（比如从 1000 降到 950，再降到 902.5……），让 “冒险” 的概率越来越小。
- 记下来最好的点：每次迭代都记录目前找到的最小函数值，直到迭代结束，这个值就是结果。
四、代码实现与关键部分解析
下面我们用 Python 代码实现上述过程，每一步都配有详细注释，帮助理解：
# 导入必要的库
import numpy as np # 用于数值计算（生成随机数、数组操作等）
import math # 用于数学运算（比如指数函数）
import matplotlib.pyplot as plt # 用于绘制迭代过程图
1. 适应度函数（目标函数）
适应度函数是我们判断 “解好不好” 的标准，这里就是要最小化的函数
# ----------------------
# 1. 定义要优化的目标函数（适应度函数）
# 这里以最小化函数 f(x) = -10x₁ - e^(-x₂/10 - x₃) 为例
# ----------------------
def fitness(x):
# x是一个包含3个变量的数组：[x₁, x₂, x₃]
x1, x2, x3 = x # 分别取出三个变量
# 计算函数值（目标是让这个值越小越好）
return -10 * x1 - math.exp(-x2/10 - x3)
2. 邻域函数（生成附近的解）
邻域函数的作用是在当前解的基础上，生成一个 “附近” 的新解，就像在当前位置 “小范围探索”。
# ----------------------
# 2. 定义邻域函数（生成当前解附近的新解）
# ----------------------
def generate_neighbor(current_x, lower_bound, upper_bound, step=0.1):
# current_x：当前解（比如 [0.5, 40, 60]）
# lower_bound/upper_bound：变量的取值范围（避免新解超出范围）
# step：扰动幅度（步长），控制新解与当前解的距离
# 给当前解加一点随机小扰动（比如0.5→0.52或0.48）
perturbation = np.random.uniform(-step, step, size=current_x.shape)
new_x = current_x + perturbation
# 确保新解在规定范围内（比如x₁不能小于0或大于1）
new_x = np.clip(new_x, lower_bound, upper_bound)
return new_x
3. 降温函数（控制温度变化）
温度是算法 “大胆程度” 的核心，降温函数让温度逐渐降低，使算法从 “大胆探索” 转向 “稳定收敛”。
# ----------------------
# 3. 定义温度更新函数（降温）
# ----------------------
def cool_down(temperature, alpha=0.95):
# 每次迭代后温度降低一点（比如1000→950→902.5...）
# alpha：降温系数（0<alpha<1，越接近1降温越慢）
return temperature * alpha
4. 模拟退火算法主函数（核心逻辑）
主函数整合了上述所有部分，实现 “生成新解→判断是否接受→降温→记录最优解” 的完整流程。
"""
----------------------
# 4. 模拟退火算法主函数
# 功能：实现模拟退火算法的完整流程，从初始解开始搜索，通过温度控制实现全局优化
# 参数说明：
# fitness_func: 函数，适应度函数（目标函数），用于评估解的优劣
# lower_bound: 数组，各变量的取值下限（如 [0, 1, 0] 表示x1≥0, x2≥1, x3≥0）
# upper_bound: 数组，各变量的取值上限（如 [1, 80, 120] 表示x1≤1, x2≤80, x3≤120）
# initial_temp: 数值，初始温度（控制探索强度的起点，越高初始探索越自由）
# alpha: 数值，降温系数（0<alpha<1，如0.95表示每次温度变为原来的95%）
# max_iter: 整数，最大迭代次数（算法终止条件之一，控制搜索的总步数）
# 返回值：
# best_x: 数组，找到的最优解（使目标函数最小的变量组合）
# best_fitness: 数值，最优解对应的函数值（目标函数的最小值）
# ----------------------
"""
def simulated_annealing(fitness_func,
lower_bound,
upper_bound,
initial_temp=1000,
alpha=0.95,
max_iter=100):
# 初始化参数
# 随机生成一个初始解（在变量范围内均匀采样，作为搜索的起点）
# 例如：x1在[0,1]、x2在[1,80]、x3在[0,120]中随机取值
current_x = np.random.uniform(lower_bound, upper_bound)
# 计算初始解的函数值（用适应度函数评估初始解的优劣）
current_fitness = fitness_func(current_x)
# 记录最优解（算法运行过程中始终保存目前找到的最好解）
# 初始状态下，最优解就是初始解
best_x = current_x.copy() # 用copy避免后续修改影响最优解记录
best_fitness = current_fitness # 记录最优解对应的函数值
# 初始化温度（从初始温度开始，控制算法的探索-收敛过程）
temperature = initial_temp
# 记录每次迭代的最优函数值（用于后续绘制迭代曲线，直观展示算法收敛过程）
fitness_history = [best_fitness] # 初始值加入历史记录
# 开始迭代搜索（核心循环，重复执行"生成新解→判断是否接受→更新最优解→降温"流程）
for i in range(max_iter):
# 生成新解：通过邻域函数在当前解附近生成一个候选解
# 新解与当前解的距离由邻域函数的步长控制，确保在变量范围内
new_x = generate_neighbor(current_x, lower_bound, upper_bound)
# 评估新解：计算新解的函数值，判断其优劣
new_fitness = fitness_func(new_x)
# 判断是否接受新解（遵循Metropolis准则，核心机制）
# 情况1：新解更好（函数值更小，因为我们要找最小值）→ 直接接受新解
if new_fitness < current_fitness:
current_x = new_x # 更新当前解为新解
current_fitness = new_fitness # 更新当前解的函数值
# 情况2：新解更差（函数值更大）→ 以一定概率接受，避免陷入局部最优
else:
# 计算接受概率：温度越高、新解与当前解的差距越小，接受概率越大
# 公式来源：模拟退火的物理背景（玻尔兹曼分布）
probability = math.exp((current_fitness - new_fitness) / temperature)
# 生成0-1之间的随机数，若小于接受概率则接受新解
if np.random.rand() < probability:
current_x = new_x # 接受较差的新解，保持探索性
current_fitness = new_fitness
# 更新最优解：如果当前解比历史最优解更好，则更新记录
if current_fitness < best_fitness:
best_x = current_x.copy() # 保存新的最优解
best_fitness = current_fitness # 保存新的最优函数值
# 降温：按照降温系数降低温度，使算法从"探索"逐渐转向"收敛"
# 温度降低后，接受较差解的概率减小，搜索更聚焦于优质区域
temperature = cool_down(temperature, alpha)
# 记录当前迭代的最优值：用于后续绘图分析算法性能
fitness_history.append(best_fitness)
# 打印迭代信息：实时展示算法进展，方便调试和观察收敛情况
print(f"第{i+1}次迭代，当前最优函数值：{best_fitness:.4f}")
# 绘制迭代过程图：直观展示最优函数值随迭代次数的变化
plt.plot(fitness_history)
plt.xlabel("迭代次数")
plt.ylabel("最优函数值")
plt.title("模拟退火算法迭代过程")
plt.show()
# 返回最终找到的最优解和对应的函数值
return best_x, best_fitness
# 绘制迭代过程图（看函数值如何变化）
plt.plot(fitness_history)
plt.xlabel("迭代次数")
plt.ylabel("最优函数值")
plt.title("模拟退火算法迭代过程")
plt.show()
return best_x, best_fitness
5. 运行算法并查看结果
最后，我们设置参数并运行算法，看看它如何找到最优解：
# ----------------------
# 5. 主程序：运行算法
# ----------------------
if __name__ == "__main__":
# 定义变量的取值范围（x₁: [0,1]，x₂: [1,80]，x₃: [0,120]）
lower = np.array([0, 1, 0]) # 下限
upper = np.array([1, 80, 120]) # 上限
# 算法参数
initial_temperature = 1000 # 初始温度
cooling_rate = 0.95 # 降温系数
max_iterations = 100 # 最大迭代次数
# 运行模拟退火算法
best_solution, best_value = simulated_annealing(
fitness_func=fitness,
lower_bound=lower,
upper_bound=upper,
initial_temp=initial_temperature,
alpha=cooling_rate,
max_iter=max_iterations
)
# 输出结果
print("\n最终结果：")
print(f"最优解（x₁, x₂, x₃）：{best_solution}")
print(f"最优函数值：{best_value:.4f}")
python语法基础补充
if __name__ == "__main__": —— 主程序入口判断
这是 Python 中用于区分 “模块运行” 和 “模块导入” 的经典语法：
当这个脚本被直接运行时（比如
python script.py），__name__变量会被自动赋值为"__main__"，此时if条件成立，内部代码会执行。当这个脚本被作为模块导入到其他脚本时（比如
import script），__name__会被赋值为模块名（"script"），此时if条件不成立，内部代码不会执行。
作用：让脚本既能作为独立程序运行，又能作为模块被其他程序导入（导入时不执行主程序逻辑）。
五、结果能说明什么？
在上述例子中，迭代 100 次后，最终找到的最优解通常接近函数值 -10.0。从迭代过程的图表（适应度随迭代次数变化）能看到：
- 一开始函数值波动较大（温度高，敢尝试差的解）；
- 后来逐渐稳定在 -10.0 左右（温度低，找到最优解后不再变化）。
这说明算法成功从 “探索” 阶段过渡到 “收敛” 阶段，最终找到了全局最优解。
六、为什么要用模拟退火算法？
- 适合解决复杂问题：比如旅行商问题（找最短路线）、工厂排班、参数优化等。
- 不容易陷在局部最优：比如爬山时，它不会只盯着眼前的小山坡，而是可能先爬上一个稍高的坡，再找到更高的山。
七、如何修改代码解决自己的问题？
- 如果你想优化其他函数，只需修改
fitness函数中的计算公式。 - 如果你有更多变量或不同的取值范围，修改
lower和upper数组即可（比如 2 个变量就设为np.array([a, b])和np.array([c, d])）。 - 可以调整
initial_temperature（初始温度）、cooling_rate（降温系数）、max_iterations（迭代次数）等参数，让算法更适合你的问题。