【2022牛客暑期多校2 - D 】Link with Game Glitch

题目链接：https://ac.nowcoder.com/acm/contest/33188/D
AC代码：https://ac.nowcoder.com/acm/contest/view-submission?submissionId=52837882

题意：
Link正在开发一个游戏。在这个游戏中，玩家可以用 $k\ast a_i$ 个 $b_i$ 物品兑换 $k\ast c_i$ 个 $d_i$ 物品。
有一天Link发现玩家可以利用这个规则刷取无穷个物品。但是Link不希望修改每个兑换的规则。
因此他引入了常数 w ，现在，玩家可以用 $k\ast a_i$ 个 $b_i$ 物品兑换 $k\ast w\ast c_i$ 个 $d_i$ 物品。
请问在使得玩家不能刷取无穷多物品的条件下，w 的最大取值。

输入：
3 3
1 1 2 2
1 2 2 1
1 3 1 1

输出：
0.5000000000

容易想到，可以把原问题转化为一个图论问题：
1：把“ $k\ast a_i$ 个 $b_i$ 物品兑换 $k\ast c_i$ 个 $d_i$ 物品 ” 转化为 $b_i\to d_i$ 的边权为 $\frac{c_i}{a_i}$ 的一条有向边。
2：原问题转化为，对于图中的每一个环 E { e 1 , e 2 , ⋯ e n } E \{e_1,e_2,\cdots e_n\} E{e1​,e2​,⋯en​}，都满足 $\prod _{i=1}^n(w\ast e_i)⩽1$
3：两边同时取log，得：${\sum }_{i=1}^n(\log w+\log e_i)⩽0$
4：因为上述不等式满足单调性，因此可以二分查找满足条件的 w 的最大取值。
5：至此，问题转化为判断图中是否存在正环的问题。

参考代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define LL long long
#define endl '\n'
typedef pair<int, double> pid;
typedef pair<double, int> pdi;
const int maxn = 5e4+2;
const int N = 5e4+5;
const double eps = 1e-8;
vector<array<int, 4>> p;
int n, m;
int h[N], e[N], ne[N], idx;
double w[N];
queue<int> q;
int st[N];
double dist[N], cnt[N];

void add(int a, int b, double c)
{
    e[idx] = b, w[idx] = c, ne[idx] = h[a], h[a] = idx++;
}
// spfa判负环，板子略
bool spfa();

bool check(double mid)
{
    memset(h, -1, sizeof h);
    idx=0;
    for (auto [a, b, c, d] : p)
    {
        double ww = log(c) - log(a) + log(mid);
        add(b, d, -ww);
    }

    return spfa();
}

void solve()
{
    cin >> n >> m;
    p.resize(m);
    for (auto &[a, b, c, d] : p)
        cin >> a >> b >> c >> d;
    
    double l = 0, r = 1;
    while (r - l > eps)
    {
        double mid = (l + r) * 0.5;
        if (check(mid))
            l = mid;
        else
            r = mid;
    }
    
    printf("%.8lf",l);
}

int main()
{
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0);
    cout.tie(0);
    solve();
    return 0;
}