定义：
1、自回归模型AR
若时间序列：
z t = φ 1 z t − 1 + φ 2 z t − 2 + ⋯ + φ p z t − p + a t z_t=\varphi_1z_{t-1}+\varphi_2z_{t-2}+\cdots+\varphi_pz_{t-p}+a_t zt=φ1zt−1+φ2zt−2+⋯+φpzt−p+at
其模型线差 a t a_t at是零均值、方差是 σ 2 \sigma^2 σ2的白噪声， φ 1 , φ 2 , ⋯ , φ p \varphi_1, \varphi_2,\cdots,\varphi_p φ1,φ2,⋯,φp是模型参数，则称为 p p p阶自回归模型 A R ( p ) AR(p) AR(p).
2、滑动平均模型：
若时间序列：
z t = a t − θ 1 a t − 1 − ⋯ − θ q a t − q z_t=a_t-\theta_1a_{t-1}-\cdots-\theta_qa_{t-q} zt=at−θ1at−1−⋯−θqat−q
其中模型线差 a t a_t at是零均值、方差是 σ 2 \sigma^2 σ2的白噪声， θ 1 , θ 2 , ⋯ , θ q \theta_1, \theta_2,\cdots,\theta_q θ1,θ2,⋯,θq是模型参数，则称为 q q q阶滑动平均模型 M A ( q ) MA(q) MA(q).
3、自回归-滑动平均模型
若时间序列：
z t − φ 1 z t − 1 − φ 2 z t − 2 − ⋯ − φ p z t − p = a t − θ 1 a t − 1 − ⋯ − θ q a t − q z_t-\varphi_1z_{t-1}-\varphi_2z_{t-2}-\cdots-\varphi_pz_{t-p}=a_t-\theta_1a_{t-1}-\cdots-\theta_qa_{t-q} zt−φ1zt−1−φ2zt−2−⋯−φpzt−p=at−θ1at−1−⋯−θqat−q
其中 a t a_t at是零均值、方差是 σ 2 \sigma^2 σ2的白噪声， φ 1 , φ 2 , ⋯ , φ p \varphi_1, \varphi_2,\cdots,\varphi_p φ1,φ2,⋯,φp和 θ 1 , θ 2 , ⋯ , θ q \theta_1, \theta_2,\cdots,\theta_q θ1,θ2,⋯,θq是模型参数，则称为自回归-滑动平均模型 A R M A ( P , q ) ， ARMA(P,q)， ARMA(P,q)， p , q p,q p,q是模型的阶次.
模型求解步骤：
1、对给定的随机过程确定合适的参数模型；
2、根据信号的自相关函数确定模型参数；
3、根据模型参数分析随机过程特性；
示例：
题目：
解答：
应用：
1、三种信号模型可互相转换，具有普遍适应性；
精确表达式在理论分析时有重要作用，近似表达式在工程应用中和建模有重要意义。体现有限和无限、近似和精确的转换。
A R M A 模型 = M A ( ∞ ) 模型 A R M A 模型 ≈ 高阶 M A ( q ) 模型 A R M A 模型 = A R ( ∞ ) 模型 A R M A 模型 ≈ 高阶 A R ( p ) 模型 A R 模型 = M A ( ∞ ) 模型 M A 模型 = A R ( ∞ ) 模型 A R 模型 ≈ M A ( q ) 模型 M A 模型 ≈ A R ( p ) 模型 \begin{aligned} &ARMA模型=MA(\infty)模型\\ &ARMA模型\approx 高阶MA(q)模型\\ &ARMA模型=AR(\infty)模型\\ &ARMA模型\approx 高阶AR(p)模型\\ &AR模型=MA(\infty)模型\\ &MA模型=AR(\infty)模型\\ &AR模型\approx MA(q)模型\\ &MA模型\approx AR(p)模型\\ \end{aligned} ARMA模型=MA(∞)模型ARMA模型≈高阶MA(q)模型ARMA模型=AR(∞)模型ARMA模型≈高阶AR(p)模型AR模型=MA(∞)模型MA模型=AR(∞)模型AR模型≈MA(q)模型MA模型≈AR(p)模型
2、模型系数越少，程序运行效率越高；
3、AR模型适合：功率谱仅有尖峰的信号；
4、MA模型适合：功率谱仅有深谷的信号；
5、ARMA模型适合：功率谱有尖峰有深谷的信号；
参考：
1、《最优估计理论及应用-建模 滤波 信息融合估计》哈尔滨工业大学出版社
2、 统计信号处理 - 国防科技大学 - 学堂在线 (xuetangx.com)