Trie树

引言

众所周知，字典的用途无非就是用来查找字的。顾名思义，字典树自然也是起到查找的作用。我们可以看看以下几个问题：

$回答:$

利用 map 存储每个单词，调用 count 即可得出结果

$回答:$

将单词拆分后，用 map存储每一段，调用 count 得出结果

若 n <= 2e5 时，如果继续使用map，将会 TLE，这时我们就需要使用一种高级的数据结构，即 Trie树

基本概念及性质

Tire树，又称字典树。

• 是一种高效存储查找字符串集合的数据结构
• 核心思想是利用空间换时间，利用字符串的公共前缀来降低查询时间的开销
• 适用于 全是同类字符的情形：
  • 小写字母
  • 大写字母
  • 数字
  • 0 / 1

$性质$

1. 下标是 0 的节点 （头节点），即是根节点，又是空节点

2. 树的每个节点包含的子节点字符都不相同

3. 从根节点到某一节点，路径上所经过的字符拼接起来，就是该节点对应的字符串

实现思路及图解

int son[N][26];// 后面的 26 数字视题目而定
int idx; 

// son[][]存储树中每个节点的子节点
// idx 记录每个字符的编号

$核心思路$：

• 从前往后依次遍历每个字符，看是否有此字母作为子节点，没有则创建新的节点
• 在每个单词结尾打上标记，表示以当前字母结尾的单词存在

插入操作

对于每个字符，我们给它指定一个插入位置，即给每个字母贴上编号

如 数组 $son[i][j]=k$ ，表示 $编号为i$ 的节点的，$第j个$孩子， 是 $编号为k$ 的节点

1. 说白了就是，$i,k表示节点的位置编号，这是相对整棵树而言的$

如图，当我们依次插入 abcd，abd，ace，bcd ，abda 时，我们将得到第一种编号，$蓝色$表示编号结果。因为先输入的是 abcd，所以 a ，b，c，d的分别是 1，2，3，然后输入的是abd，因为 a，b 此前已经输入，即是公共前缀，故从 d 开始编号，所以 d 是 4，此后输入以此类推

可以发现相同的字母的编号可能不同

2. $j表示孩子编号，表示节点i的第j个的孩子，这是相对节点i而言的$

如图，当我们依次插入 abcd，abd，ace，bcd ，abda 时，得到第一种编号的同时，我们可以得到第二种编号，$绿色$表示编号结果。因为每个节点最多有26个子节点，故此我们可以按他们的字典序从0 ~ 25编号，也就是$字母ASCLL码-a的ASCLL码$。因为先输入的是 abcd，所以 a ，b，c，d的分别是 0，1，2，3，此后输入以此类推

可以发现相同字母的编号相同

代码模板

void insert(char *str)
{
    int p = 0; // 从根节点出发，根节点的编号为 0
    
	for(int i = 0; str[i]; i ++ )
	{
		int u = str[i] - 'a';// 第二种编号	
        if(!son[p][u]) // 如果之前没有从 p 到 u 的前缀
            son[p][u] = ++idx; // idx 即为第一种编号 

        p = son[p][u]; // 顺着字典树往下走
    }
    
}

查找操作

(1) $查找某个单词出现次数$

对于一个给定的字符串，我们从左往右扫描每个字母，顺着字典树往下找

• 若能走得到这个字母，往下走，当字符串扫完后，返回此$字符串出现的次数cnt[p]$
• 若能走不到这个字母，结束查找，即没有这个前缀， 返回 $0$

我们可以使用 $数组cnt[]$记录以当前字母结尾的单词次数 ，插入完毕后，我们使 数组 $cnt[p]$加 1，表示以当前字母结尾的单词数个数加 1

如下图所示，依次插入单词后，我们用 $灰色$ 表示以该字母结尾的单词出现的次数

代码模板为

int cnt[N]; // cnt[]存储每个节点结尾的单词结尾，即打标记

void insert(char *str)
{
    int p = 0;
    
    for(int i = 0; str[i]; i ++ )
    {
        int u = str[i] - 'a';
        
        if(!son[p][u])
            son[p][u] = ++idx;
        
        p = son[p][u];
    }
    
    cnt[p] ++; // 表示当前单词数 加 1
}

int query(char *str)//查找以某个单词出现的次数
{
    int p = 0;
    
    for(int i = 0; str[i]; i ++ )
    {
        int u = str[i] - 'a';
        
        if(!son[p][u]) return 0;
        
        p = son[p][u];
    }
    
    return cnt[p];
}

例如，当我们查找 ac 这个单词出现的次数时

对于$数组str[]$，有

$执行$$u=str[i]-{}^{\prime }{a}^{\prime }$

有 $u{=}^{\prime }{a}^{\prime }{-}^{\prime }{a}^{\prime }=0$

因为此时 $son[p][u]=son[0][0]=1!=0$

故 $执行$$p=son[p][u]=son[0][0]=1$（根节点 的编号为 0，它的第 0 个 孩子编号为 1）

故 如下图所示，走到编号为 1 的 a 处

$执行$$u=str[i]-{}^{\prime }{a}^{\prime }$

有 $u{=}^{\prime }{c}^{\prime }{-}^{\prime }{a}^{\prime }=2$

因为此时 $son[p][u]=son[1][2]=6!=0$

故 $执行$$p=son[p][u]=son[1][2]=6$ （a 的编号为 1，它的第 2 个 孩子编号为 6）

故 如下图所示，走到编号为 6 的 c 处

最后 $执行$$cnt[p]=cnt[6]=3$，我们即可得到单词 ac 的数量为 3

(2) $查找某个前缀出现次数$

对于一个给定的前缀字符串，我们从左往右扫描每个字母，顺着字典树往下找

• 若能走得到这个字母，往下走，当字符串扫完后，返回此$前缀出现的次数sum[p]$
• 若能走不到这个字母，结束查找，即没有这个前缀， 返回 $0$

我们可以使用 $数组sum[]$记录以此前缀出现的次数 ，插入过程中，我们使 数组 $sum[son[p][u]]$加 1，表示此前缀的某段部分的出现的次数加 1

依次插入单词后，我们用 $灰色$ 表示此单词出现的次数，

相应地，我们可以得到各个前缀段出现的次数，我们用 $黄色$ 表示以该前缀段出现（从 该字母 到 根节点 所经过的字母）的次数，如下图所示

代码模板为

int sum[N];// sum[] 记录某段前缀出现的次数

void insert(char *str)
{
    int p = 0;
    for(int i = 0; str[i]; i ++ )
    {
        int u = str[i] - 'a';

        if(!son[p][u])
            son[p][u] = ++idx;
        
        sum[son[p][u]] ++;//表示此前缀某段部分出现次数加 1

        p = son[p][u];
    }

}

int find(char *str)//查询某个前缀出现次数
{
    int p = 0;
    
    for(int i = 0; str[i]; i ++ )
    {
        int u = str[i] - 'a';
        
        if(!son[p][u]) return 0;
        
        p = son[p][u];
    }
    
    return sum[p];
}