1.再理解：零空间、行空间、列空间、左零空间、基础解系、极大线性无关组、齐次解、非齐次解之间的关系

笔记来源：This is what matrices (and matrix manipulation) really look like

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此篇文章仅以方阵为例

1.1 零空间（Null Space，$N(A)$）

齐次线性方程组

方程组的矩阵表示
注意此矩阵为$A$
$$A\vec{x}=\vec{0}$$

方程组解的角度：
上面三个方程分别对应三个平面，三个平面交于一线，这条交线上的每个点$(x,y,z)$代入三个方程都会使得三个方程为0，即交线上每个点均为三个方程的解，这些点（解）构成了矩阵A的零空间
线性变换的角度：
线性变换前的空间内所有点，在经过矩阵A的变换后，在上图交线中的所有点都被压缩到原点

矩阵A的零空间

1.2 行空间（Row Space，$C(A^T)$）

非齐次线性方程组

方程组的矩阵表示
注意此矩阵为$A^T$

$$A^T\vec{y}=\vec{b}$$
将上式化为矩阵$A$乘以某个向量的形式
$$\begin{gathered} A^T\vec{y}=\vec{b} \\ (A^T\vec{y}{)}^T={\vec{b}}^T \\ {\vec{y}}^{T}A={\vec{b}}^T \end{gathered}$$
矩阵左乘向量
下面第一张图来自：矩阵乘法核心思想（2）：行空间

我们观察一下矩阵$A$ 的行向量与零空间中的向量之间的关系

矩阵$A$的三个行向量张成行空间，白线为矩阵$A$的零空间，我们发现行空间⊥零空间

1.3 零空间与行空间

零空间⊥行空间

1.4 列空间（Column Space，$C(A)$）

非齐次线性方程组

方程组的矩阵表示
注意此矩阵为$A$

$$A\vec{x}=\vec{b}$$

矩阵右乘向量
下面第一张图来自：矩阵乘法核心思想（2）：行空间


上图中列空间是由矩阵A的三个列向量线性组合张成的空间

我们将矩阵A的三个空间放在一起看看它们之间的关系

1.5 左零空间（Left Nullspace，$N(A^T)$）

非齐次线性方程组

方程组的矩阵表示
注意此矩阵为$A^T$

$$A^T\vec{y}=\vec{0}$$
将上式化为矩阵$A$乘以某个向量的形式
$$\begin{gathered} A^T\vec{y}=\vec{0} \\ (A^T\vec{y}{)}^T={\vec{0}}^T \\ {\vec{y}}^{T}A={\vec{0}}^T \end{gathered}$$
上面这些式子中 ${\vec{y}}^{T}A={\vec{0}}^T$ 解向量 ${\vec{y}}^T$ 在矩阵$A$的左侧，从这里体现了“左”字
矩阵$A$的左零空间就是矩阵$A^T$的零空间

1.6 列空间与左零空间

左零空间⊥行空间

1.7 各个空间之间的关系

零空间与行空间正交
列空间与左零空间正交
下面第一张图来自：线性代数“正交”全家桶(2) ：正交子空间

对任一矩阵$A_{m\times n}$ 都有 $\text{Row Rank}=\text{Column Rank}=\text{Rank}$

行空间：$\text{im}(A^T)$
零空间：$\text{ker}(A)$
列空间：$\text{im}(A)$
左零空间：$\text{ker}(A^T)$
行空间和零空间构成$n$维空间
列空间和左零空间构成$m$维空间

1.8 基础解系、极大线性无关组

个人理解：行空间、零空间、列空间、左零空间都是由对应线性方程组的所有解构成的空间，由于每个解为一个点，此点与原点构成向量，也可以说线性方程组的解向量构成了上述空间，一句话概括：这些空间都是对应线性方程组的解空间
解向量的极大线性无关组就是基础解系（基础解系相当于解空间的基），基础解系通过线性组合得到所有解向量，即所有解向量都可以由基础解系线性表示

1.9 齐次与非齐次方程组的解

零空间和左零空间就是齐次方程组的解所构成的空间
行空间和列空间就是非齐次方程组的解所构成空间

$A\vec{x}=\vec{b}$ 的解集是一个和 $A\vec{x}=\vec{0}$ 的解空间相平行的结构，该结构是Ax=0的解空间沿着一个特解方向平移的结果 --摘自：非齐次线性方程组通解的结构如何理解？

下面第一张图来自：矩阵乘法核心思想（3）：零空间

具体详见本人博客：从线代角度图解：通解、特解、非齐次通解、非齐次特解、齐次通解、齐次特解