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课件参考—开课吧《门徒计划》

5-1 单调队列（Monotone-Queue）及经典问题（上）

前面我们学习过一些普通的数据结构：队列、栈，它们都是线性 简单的数据结构，没有涉及到什么操作的算法，但今天我们开始涉及一些稍微复杂的算法，单调队列对于普通队列的数据结构比起来稍微复杂了些，它会在原有队列的结构之上进行一些特殊的操作。

单调队列的题在面试中比较少见，所以今天的选题较少。

单调队列基础知识

我们用一个问题来引入单调队列的概念，$RMQ$ 是一类问题的统称：$Rangemax/minquery$，查询区间范围内的最大值或者最小值。

就是查询给定区间的最值问题，有可能是最大值，有可能是最小值，在本文中全部认为是查询最小值。

最少记录几个元素，就可以满足 $RMQ(x,7)$ 的任何需求？$x$ 在 $0-7$ 之间任意变化。

我们需要记录 $4$ 个数字，下标分别为：$1$、$4$、$6$、$7$，就可以满足需求：

• $RMQ(1,7)=>记录下标为1的元素(1)$
• $RMQ(2,7)=>记录下标为4的元素(2)$
• $RMQ(3,7)=>记录下标为4的元素(2)$
• $RMQ(4,7)=>记录下标为4的元素(2)$
• $RMQ(5,7)=>记录下标为6的元素(8)$
• $RMQ(6,7)=>记录下标为6的元素(8)$
• $RMQ(7,7)=>记录下标为7的元素(12)$

我们发现：$1$$、2$、$8$、$12$，这 $4$ 个数字单调递增，我们就把这个单调递增的序列叫做单调序列。

想要求得一个 $RMQ(x,y)$，$y$ 被固定时，就可以采用刚才得到的顺序，这就是一个单调队列。

单调队列—维护过程

单调队列的维护过程本质上就是一个滑动窗口的过程。

我们设置滑动窗口的大小为 $3$，此时队列中存入了 $1$ 和 $4$，虽然 $1$ 比 $4$ 小，但后续窗口滑动会将 $1$ 丢掉，为了保守起见也要把 $4$ 存入。

再把 $5$ 存入。

此时 $1$ 已经不再窗口中，将它忽略，由于进来的 $2$ 比 $4$、$5$ 都小，所以将 $4$、$5$ 移除队列，将 $2$ 存入队列中。

同理把 $9$ 也存入。

$8$ 比 $9$ 小，所以移除 $9$，加入 $8$。

同理加入 $12$。

以上就是单调队列滑动的过程，那么单调队列的作用是什么呢？其实它就是在维护我们滑动窗口的最值。

只要单调队列中有元素，那么队首元素一定是滑动窗口的最小值，这样我们就可以快速得到在窗口滑动的过程中所有的最值问题。

单调队列总结

单调队列就是一种特殊的结构，解决窗口在滑动过程中的最值问题。

维护一个单调队列 存放窗口的最小值

import java.util.Deque;
import java.util.LinkedList;
import java.util.Scanner;

public class Main {

    static final int N = 300010;
    static int[] arr = new int[N];

    public static void main(String[] args) {
        Scanner sc = new Scanner(System.in);
        int n = sc.nextInt(), k = sc.nextInt(); // n为元素个数 k为滑动窗口大小
        for (int i = 0; i < n; i++) arr[i] = sc.nextInt();
        Deque<Integer> q = new LinkedList<>(); // 双端队列
        // 最小值
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            // 如果队尾元素大于当前元素 则将队尾元素删除 放入当前元素 (保证单调性)
            while (!q.isEmpty() && arr[q.peekLast()] > arr[i]) q.pollLast();
            q.offerLast(i); // 放入队尾
            if (i - q.peekFirst() == k) q.removeFirst(); // 窗口满了 移除队首元素
            if (i + 1 < k) continue; // 窗口未满
            if (i + 1 > k) System.out.print(" "); // 规范输出
            System.out.print(arr[q.peekFirst()]);
        }
    }
}

LeetCode真题

单调队列经典题目

LeetCode239. 滑动窗口最大值

难度：hard

别看是一道hard题，如果理解了单调队列，那么这道题就非常简单。

其实跟上面实现的代码一模一样，不过上面的代码是维护最小值，只需要把大于号换成小于号即可。

维护一个最大值的单调队列，队首元素永远是这个滑动窗口的最大值。

LeetCode题解：代码实现

LeetCode面试题59 - II. 队列的最大值

难度：mid

这道题就不一样了，并没有明确给我们一个序列以及滑动窗口的大小，需要我们自己定义一个队列并实现函数。

请定义一个队列并实现函数 max_value 得到队列里的最大值，要求函数max_value、push_back 和 pop_front 的均摊时间复杂度都是O(1)。

这句话的意思就是让我们实现一个队列，具有的额外功能是瞬间得到该队列的最大值 $Max$，也就是再额外维护一个单调队列。

该单调队列的队首元素永远是最大值，且队列递减。

LeetCode题解：代码实现

LeetCode862. 和至少为 K 的最短子数组

难度：hard

在数组中找到和大于等于 $k$ 的长度最短的数组。

典型单调队列是找滑动窗口的极值，这道题是一个非典型单调队列。

首先我们预处理前缀和：s[0] = 0, s[i] = a[0] + a[1] + ... + a[i];，枚举时枚举数组的右端点 $i$，我们需要在 $i$ 前面找到一个 $j$，使得 $S_i-S_j⩾k$，且 $i-j$ 最小，对于每个 $i$ 找到一个满足条件的 $j$，取一个 $Min$ 就是答案。

怎么找呢？这就需要用到单调队列了。

假设 $S_i-S_{j1}⩾k$，此时同样满足：$S_i-S_{j2}⩾k$， $S_i-S_{j3}⩾k$，那我们肯定会取 $S_{j3}$ 这个值作为首选，因为数组长度最短。

我们发现，此时我们只需要维护 $S_j$ 即可，目前为止的正确答案是 $S_{j3}$，当遍历到 $S_i$ 后面的 $S_{i+1}$ 时，只需要跟 $S_{j3}$ 进行判断即可， $S_{j2}$ 和 $S_{j1}$ 显然不是更优的答案，所以不再需要记录这两个值，只需要存一个离我们最近的值，这个特性恰巧符合了单调队列的特性。

我们需要维护 $S_{j1}$、$S_{j2}$ 和 $S_{j3}$ 的单调性，本题步骤：

• 维护前缀和 $S_i$
• 通过前缀和得到单调递减的 $S_j$ 序列（这样就不用从头到尾的往后扫，直接从上一次的 $S_j$ 开始往后扫）

前缀和数组不单调（因为有负数），但我们单独拿出来的 $S_j$ 序列是单调递减的单调队列。

为什么是递减？假设 $S_i-S_{j1}=k$，那么我们一定要保证 $S_{j2}$ 和 $S_{j3}$ 是小于 $S_{j1}$ 的，要不然就满足不了 $S_i-S_j⩾k$ 这个条件了。

LeetCode题解：代码实现

LeetCode1438. 绝对差不超过限制的最长连续子数组

难度：mid

我们需要拿到所有子数组的 $Max-Min$，判断是否小于等于 $limit$ ，所以我们需要维护两个单调队列，一个存放区间的最大值，一个存放最小值。

具体分析请配合代码注释理解。

LeetCode题解：代码实现

总结

首先我们由 $RMQ$ 问题引出了单调队列，单调队列就是解决 $RMQ$ 问题的一种方法，也有一些局限性（它需要固定 $RMQ(x,y)$ 中 $y$ 这一侧 进行查询）但在很多特殊情况下会有一些奇妙的作用。

正统解决 $RMQ$ 问题通常会采用线段树、树状数组和st算法（后续会涉及到）。

单调队列使用的数据结构是 $Deque$ 双端队列，头尾都可以进行 $push()$ 和 $pop()$ 操作，对于维护滑动窗口的最值还是非常好用的。