1.Ax=b的完全解（Complete Solution）
Complete Solution = x p a r t i c u l a r x_{particular} xparticular(Particular Solution)+ x n u l l s p a c e x_{nullspace} xnullspace(Special Solution)
1.1 Particular Solution ( x p x_p xp)
Particular Solution ( x p x_p xp)
R x = d R\boldsymbol{x}=\boldsymbol{d} Rx=d
[ 1 0 3 0 1 − 2 ] [ x 1 x 2 x 3 ] = [ 2 1 ] \begin{bmatrix} 1 & 0 & 3\\ 0 & 1 & -2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1\\ x_2\\ x_3 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 2\\ 1 \end{bmatrix} [10013−2]⎣
⎡x1x2x3⎦
⎤=[21]
[ 1 0 3 0 1 − 2 ] [ 2 1 0 ] = [ 2 1 ] \begin{bmatrix} 1 & 0 & 3\\ 0 & 1 & -2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2\\ 1\\ 0 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 2\\ 1 \end{bmatrix} [10013−2]⎣ ⎡210⎦ ⎤=[21]
x p = [ 2 1 0 ] \boldsymbol{x}_p=\begin{bmatrix} 2\\ 1\\ 0 \end{bmatrix} xp=⎣
⎡210⎦
⎤
非齐次方程组对应两平面交线上的某个点为方程组的某个Particular Solution
1.2 Special Solution（ x n u l l s p a c e x_{nullspace} xnullspace）
R x = 0 R\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0} Rx=0
[ 1 0 3 0 1 − 2 ] [ x 1 x 2 x 3 ] = [ 0 0 ] \begin{bmatrix} 1 & 0 & 3\\ 0 & 1 & -2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1\\ x_2\\ x_3 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 0\\ 0 \end{bmatrix} [10013−2]⎣
⎡x1x2x3⎦
⎤=[00]
{ x 1 + 3 x 3 = 0 x 2 − 2 x 3 = 0 \begin{cases} x_1+3x_3=0\\ x_2-2x_3=0 \end{cases} {x1+3x3=0x2−2x3=0
将主元变量写到等号左侧，自由变量写到等号右侧
x 1 = − 3 x 3 x 2 = 2 x 3 x_1=-3x_3\\ x_2=2x_3 x1=−3x3x2=2x3
[ x 1 x 2 x 3 ] = x 3 [ − 3 2 1 ] x n = x 3 [ − 3 2 1 ] \begin{bmatrix} x_1\\ x_2\\ x_3 \end{bmatrix}=x_3\begin{bmatrix} -3\\ 2\\ 1 \end{bmatrix}\\ ~\\ \boldsymbol{x}_n=x_3\begin{bmatrix} -3\\ 2\\ 1 \end{bmatrix} ⎣
⎡x1x2x3⎦
⎤=x3⎣
⎡−321⎦
⎤ xn=x3⎣
⎡−321⎦
⎤
齐次方程组对应两平面交线上某个点为某个Special Solution
综合以上：
通过线性组合 x p x_{p} xp（Particular Solution）和 x n x_{n} xn（Special Solution）的线性组合得到Complete Solution（即下图黑线上的所有点）
例二：
可以不对矩阵进行化简而直接求解，但化简为最简行阶梯型后计算会更加简便
Particular Solution ( x p x_p xp)
A x = b A\boldsymbol{x}=\boldsymbol{b} Ax=b
写为增广矩阵形式
化为最简行阶梯型
R x = d R\boldsymbol{x}=\boldsymbol{d} Rx=d
x p = [ 1 0 6 0 ] \boldsymbol{x}_p=\begin{bmatrix}1\\ 0\\ 6\\ 0\end{bmatrix} xp=⎣
⎡1060⎦
⎤
Special Solution（ x n u l l s p a c e x_{nullspace} xnullspace）
R x = 0 R\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0} Rx=0
[ 1 3 0 2 0 0 1 4 0 0 0 0 ] [ x 1 x 2 x 3 x 4 ] = [ 0 0 0 ] \begin{bmatrix} 1 & 3 & 0 & 2\\ 0 & 0 & 1 & 4\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1\\ x_2\\ x_3\\ x_4 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 0\\ 0\\ 0 \end{bmatrix} ⎣ ⎡100300010240⎦ ⎤⎣ ⎡x1x2x3x4⎦ ⎤=⎣ ⎡000⎦ ⎤
{ x 1 + 3 x 2 + 2 x 4 = 0 x 3 + x 4 = 0 \begin{cases} x_1+3x_2+2x_4=0\\ x_3+x_4=0 \end{cases} {x1+3x2+2x4=0x3+x4=0
将主元变量写到等号左侧，自由变量写到等号右侧
x 1 = − 3 x 2 − 2 x 4 x 3 = − x 4 x_1=-3x_2-2x_4\\ x_3=-x_4 x1=−3x2−2x4x3=−x4
[ x 1 x 2 x 3 x 4 ] = x 2 [ − 3 1 0 0 ] + x 4 [ − 2 0 − 4 1 ] \begin{bmatrix}x_1\\ x_2\\ x_3\\ x_4\end{bmatrix}= x_2\begin{bmatrix} -3\\ 1\\ 0\\ 0 \end{bmatrix}+x_4 \begin{bmatrix} -2\\ 0\\ -4\\ 1 \end{bmatrix} ⎣ ⎡x1x2x3x4⎦ ⎤=x2⎣ ⎡−3100⎦ ⎤+x4⎣ ⎡−20−41⎦ ⎤
x n = x 2 [ − 3 1 0 0 ] + x 4 [ − 2 0 − 4 1 ] \boldsymbol{x}_n=x_2 \begin{bmatrix} -3\\ 1\\ 0\\ 0 \end{bmatrix}+x_4 \begin{bmatrix} -2\\ 0\\ -4\\ 1 \end{bmatrix} xn=x2⎣ ⎡−3100⎦ ⎤+x4⎣ ⎡−20−41⎦ ⎤
综合以上：
x = x p + x n = [ 1 0 6 0 ] + x 2 [ − 3 1 0 0 ] + x 4 [ − 2 0 − 4 1 ] \boldsymbol{x}=\boldsymbol{x}_p+\boldsymbol{x}_n=\begin{bmatrix}1\\ 0\\ 6\\ 0\end{bmatrix}+x_2 \begin{bmatrix} -3\\ 1\\ 0\\ 0 \end{bmatrix}+x_4 \begin{bmatrix} -2\\ 0\\ -4\\ 1 \end{bmatrix} x=xp+xn=⎣
⎡1060⎦
⎤+x2⎣
⎡−3100⎦
⎤+x4⎣
⎡−20−41⎦
⎤
矩阵A为满列秩（所有列均有主元）的性质
矩阵A为满行秩（所有行均有主元）的性质
m m m为行数、 n n n为列数
r r r 为秩（化简为最简行阶梯型后的主元个数）
