【数据结构】二叉树 -- 堆

发布于：2023-01-23 ⋅ 阅读:(242) ⋅ 点赞:(0)

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一、堆的概念及结构

如果有一个关键码的集合 K = {k0 ， k1 ， k2 ， … ， kn-1} ，把它的所有元素按完全二叉树的顺序存储方式存储在一 个一维数组中 ，并满足： Ki <= K2i+1 且 Ki<= K2i+2 (Ki >= K2i+1 且 Ki >=K2i+2) i = 0 ， 1 ， 2… ，则称为小堆 ( 或大堆) 。（即双亲比孩子的数值小(大)——小(大)堆）将根节点最大的堆叫做最大堆或大根堆，根节点最小的堆叫做最小堆或小根堆。

堆只有两种，即大堆和小堆，大堆就是父亲结点数据大于儿子结点数据，小堆则反之。

堆的性质：堆中某个节点的值总是不大于或不小于其父节点的值；堆总是一棵完全二叉树。image-20220809173342069

二、堆的实现

1、结构的定义

由于是堆的元素按完全二叉树的顺序存储方式存储在一位数组中的，所以堆的结构和顺序表的结构一样。

//符号和结构的声明
#define DEF_SIZE 5
#define CRE_SIZE 2
typedef int HPDataType;

typedef struct Heap
{
	HPDataType* data;
	int size;
	int capacity;
}HP;

2、堆的初识化

堆的初识化和顺序表的初始化一样。

//堆的初始化
void HeapInit(HP* php)
{
	assert(php);
	php->data = (HPDataType*)malloc(sizeof(HPDataType) * DEF_SIZE);
	if (php->data == NULL)
	{
		perror("malloc fail");
		exit(-1);
	}
	php->size = 0;
	php->capacity = DEF_SIZE;
}

3、堆的插入

堆的插入有两个需要注意的地方：

1、由于堆只会在尾部插入元素，所以我们不需要将 CheckCapacity 单独封装一个函数；

2、由于堆要求在插入元素之后仍保持堆的结构，即保持小根堆/大根堆，所以我们需要对堆进行向上调整，向上调整的过程其实也就是建堆的过程。

//堆的插入--需要保证插入之后仍然保持堆的结构
void HeapPush(HP* php, HPDataType x)
{
	assert(php);
	//检查容量
	if (php->size == php->capacity)
	{
		HPDataType* ptr = (HPDataType*)realloc(php->data, sizeof(HPDataType) * php->capacity * CRE_SIZE);
		if (ptr == NULL)
		{
			perror("realloc fail");
			exit(-1);
		}
		php->data = ptr;
		php->capacity *= CRE_SIZE;
	}

	//插入元素
	php->data[php->size] = x;
	php->size++;

	//保持堆结构--向上调整
	AdjustUp(php->data, php->size - 1);
}

4、堆的向上调整

这里我们以小根堆为例，如图：假设现在我们已经有了一个小根堆，现在我们往堆中 (堆尾) 插入一个元素，那么可能会出现两种情况：image-20220810162444648

1、插入的元素大于父节点，此时我们的堆仍保持小根堆结构，所以不需要改动；比如我们往堆中插入30；image-20220810162729496

2、插入的元素小于父节点；这种情况又可以分为两种：一是插入的节点虽然小于父节点，但是大于父节点的父节点，这种情况我们只需要交换父节点和该节点，使得堆保存小根堆的结构即可，比如我们插入20；二是该节点不仅小于父节点，还小于父节点的父节点，这种情况下我们就需要把该节点不断往上调整，直到把堆调整为小根堆，最坏的情况是该节点被调整为根节点，比如我们插入10；

image-20220810163543271image-20220810163608281

//交换两个节点
void Swap(HPDataType* p1, HPDataType* p2)
{
	assert(p1 && p2);
	HPDataType tmp = *p1;
	*p1 = *p2;
	*p2 = tmp;
}

//向上调整--小根堆
void AdjustUp(HPDataType* data, int child)
{
	assert(data);
	int parent = (child - 1) / 2;  //找到父节点
	while (child > 0)  //当调整到根节点时不再继续调整
	{
		//当子节点小于父节点时交换
		if (data[child] < data[parent])
		{
			Swap(&data[child], &data[parent]);
            
			//迭代
			child = parent;
			parent = (child - 1) / 2;
		}
		//否则直接跳出循环
		else
		{
			break;
		}
	}
}

如果我们需要建大根堆，只需要把交换的条件修改一下即可。

//当子节点大于父节点时交换
if (data[child] > data[parent])

5、堆的删除

对于堆的删除有明确的规定：我们只能删除堆顶的元素；但是头删之后存在两个问题：

1、顺序表头删需要挪动数据，效率低下；

2、头删之后堆中各节点的父子关系完全被破坏；

对于上面的这些问题，我们有如下解决办法：

1、我们在删除之前先将堆顶和堆尾的元素交换，然后让size–，这样相当于删除了堆顶的元素，且效率达到了O(1)；

2、由于我们把堆尾元素交换到了堆顶，堆的结构遭到了破坏，所以设计一个向下调整算法来让保持堆的结构；

//删除堆顶的元素--需要保证删除之后仍然保持堆的结构
void HeapPop(HP* php)
{
	assert(php);
	assert(!HeapEmpty(php));
	//首先交换堆顶和堆尾的元素
	Swap(&php->data[0], &php->data[php->size - 1]);
	//删除堆尾的元素
	php->size--;
	//保持堆结构--向下调整
	AdjustDown(php->data, php->size, 0);
}

6、堆的向下调整

堆向下调整的思路和向上调整刚好相反 (我们还是以小根堆为例)：1、找出子节点中较小的节点；2、比较父节点与子节点，如果父节点大于子节点则交换两个节点；3、交换之后，原来的子节点成为新的父节点，然后继续 1 2 步骤，直到调整为堆的结构。image-20220810170546896

//向下调整
void AdjustDown(HPDataType* data, int n, int parent)
{
	assert(data);
	int minchild = parent * 2 + 1;
	//当子节点调整到堆尾时结束循环
	while (minchild < n)
	{
		//找出较小的子节点
		if (minchild + 1 < n && data[minchild + 1] < data[minchild])
		{
			minchild += 1;
		}

		//如果父节点大于较小的子节点就交换
		if (data[parent] > data[minchild])
		{
			Swap(&data[parent], &data[minchild]);
			//迭代
			parent = minchild;
			minchild = parent * 2 + 1;
		}
		//否则直接跳出循环
		else
		{
			break;
		}
	}
}

和向上调整类似，如果我们想要调整为大堆，也只需要改变交换条件：

//找出较大的子节点
if (minchild + 1 < n && data[minchild + 1] > data[minchild])
//如果父节点小于较小的子节点就交换
if (data[parent] < data[minchild])

7、取出堆顶的元素

//取堆顶的元素
HPDataType HeapTop(HP* php)
{
	assert(php);
	assert(!HeapEmpty(php));
	return php->data[0];
}

8、返回堆的元素个数

//堆的元素个数
int HeapSize(HP* php)
{
	assert(php);
	return php->size;
}

9、判断堆是否为空

//堆的判空
bool HeapEmpty(HP* php)
{
	assert(php);
	return php->size == 0;
}

10、打印堆中的数据

//打印堆中的数据
void HeapPrint(HP* php)
{
	assert(php);
	int i = 0;
	for (i = 0; i < php->size; i++)
	{
		printf("%d ", php->data[i]);
	}
	printf("\n");
}

11、堆的销毁

//堆的销毁
void HeapDestory(HP* php)
{
	assert(php);
	free(php->data);
	php->capacity = php->size = 0;
}

三、完整代码

1、Heap.h

#pragma once

//头文件的包含
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <assert.h>
#include <stdbool.h>

//符号和结构的声明
#define DEF_SIZE 5
#define CRE_SIZE 2
typedef int HPDataType;

typedef struct Heap
{
	HPDataType* data;
	int size;
	int capacity;
}HP;

//函数的声明
//堆的初始化
void HeapInit(HP* php);
//堆的销毁
void HeapDestory(HP* php);
//堆的插入
void HeapPush(HP* php, HPDataType x);
//删除堆顶的元素
void HeapPop(HP* php);
//取堆顶的元素
HPDataType HeapTop(HP* php);
//堆的元素个数
int HeapSize(HP* php);
//堆的判空
bool HeapEmpty(HP* php);
//打印堆中的数据
void HeapPrint(HP* php);

2、Heap.c

#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS 1

#include "Heap.h"

//堆的初始化
void HeapInit(HP* php)
{
	assert(php);
	php->data = (HPDataType*)malloc(sizeof(HPDataType) * DEF_SIZE);
	if (php->data == NULL)
	{
		perror("malloc fail");
		exit(-1);
	}
	php->size = 0;
	php->capacity = DEF_SIZE;
}

//堆的销毁
void HeapDestory(HP* php)
{
	assert(php);
	free(php->data);
	php->capacity = php->size = 0;
}

//交换两个节点
void Swap(HPDataType* p1, HPDataType* p2)
{
	assert(p1 && p2);
	HPDataType tmp = *p1;
	*p1 = *p2;
	*p2 = tmp;
}

//向上调整--小根堆
void AdjustUp(HPDataType* data, int child)
{
	assert(data);
	int parent = (child - 1) / 2;  //找到父节点
	while (child > 0)  //当子节点为根节点时循环结束
	{
		//当子节点小于父节点时交换
		if (data[child] < data[parent])
		{
			Swap(&data[child], &data[parent]);
			//迭代
			child = parent;
			parent = (child - 1) / 2;
		}
		//否则直接跳出循环
		else
		{
			break;
		}
	}
}

//堆的插入--需要保证插入之后仍然保持堆的结构
void HeapPush(HP* php, HPDataType x)
{
	assert(php);
	//检查容量
	if (php->size == php->capacity)
	{
		HPDataType* ptr = (HPDataType*)realloc(php->data, sizeof(HPDataType) * php->capacity * CRE_SIZE);
		if (ptr == NULL)
		{
			perror("realloc fail");
			exit(-1);
		}
		php->data = ptr;
		php->capacity *= CRE_SIZE;
	}

	//插入元素
	php->data[php->size] = x;
	php->size++;

	//保持堆结构--向上调整
	AdjustUp(php->data, php->size - 1);
}

//向下调整
void AdjustDown(HPDataType* data, int n, int parent)
{
	assert(data);
	int minchild = parent * 2 + 1;
	//当子节点调整到堆尾时结束循环
	while (minchild < n)
	{
		//找出较小的子节点
		if (minchild + 1 < n && data[minchild + 1] < data[minchild])
		{
			minchild += 1;
		}

		//如果父节点大于较小的子节点就交换
		if (data[parent] > data[minchild])
		{
			Swap(&data[parent], &data[minchild]);
			//迭代
			parent = minchild;
			minchild = parent * 2 + 1;
		}
		//否则直接跳出循环
		else
		{
			break;
		}
	}
}

//删除堆顶的元素--需要保证删除之后仍然保持堆的结构
void HeapPop(HP* php)
{
	assert(php);
	assert(!HeapEmpty(php));
	//首先交换堆顶和堆尾的元素
	Swap(&php->data[0], &php->data[php->size - 1]);
	//删除堆尾的元素
	php->size--;
	//保存堆结构--向下调整
	AdjustDown(php->data, php->size, 0);
}

//取堆顶的元素
HPDataType HeapTop(HP* php)
{
	assert(php);
	assert(!HeapEmpty(php));
	return php->data[0];
}

//堆的元素个数
int HeapSize(HP* php)
{
	assert(php);
	return php->size;
}

//堆的判空
bool HeapEmpty(HP* php)
{
	assert(php);
	return php->size == 0;
}

//打印堆中的数据
void HeapPrint(HP* php)
{
	assert(php);
	int i = 0;
	for (i = 0; i < php->size; i++)
	{
		printf("%d ", php->data[i]);
	}
	printf("\n");
}

3、test.c

#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS 1

#include "Heap.h"

int main()
{
	int a[] = { 27,15,19,18,28,34,65,49,25,37 };
	HP hp;
	//堆的初始化
	HeapInit(&hp);
	//插入元素
	int i = 0;
	int len = sizeof(a) / sizeof(a[0]);
	for (i = 0; i < len; i++)
	{
		HeapPush(&hp, a[i]);
	}
	HeapPrint(&hp);

	//删除堆顶元素
	HeapPop(&hp);
	HeapPrint(&hp);

	//取出堆顶元素
	HPDataType top = HeapTop(&hp);
	printf("%d\n", top);

	//堆排序
	for (i = 0; i < len - 1; i++)
	{
		printf("%d ", HeapTop(&hp));
		HeapPop(&hp);
	}

	//堆的销毁
	HeapDestory(&hp);

	return 0;
}

image-20220810171117756

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