数学实验-圆周率π的计算(Mathematica实现)

发布于：2023-09-14 ⋅ 阅读:(223) ⋅ 点赞:(0)

一、实验名称：圆周率π的计算

二、实验环境：机房、Mathematica 10.3软件

三、实验目的：通过各种方法在Mathematica中计算圆周率π的值，

四、实验内容及结果

1 数值积分法计算π

计算定积分 $\int_{0}^{1}\frac{4}{1+x^{2}}dx=\pi$ 的数值，就得到了 $\pi$ 的值，下面程序中对于不同 $n$ 的值（ $n$ 分别取1000、5000、10000）讨论所得计算结果的差别。

(1) n=1000

(2) n=5000

(3) n=10000

数值积分法计算 $\pi$ 结果分析：用数值积分法计算 $\pi$ 的值结果非常接近准确值，当 $n$ 的取值越来越大时，可以看出 $\pi$ 的值越接近准确值。

单位圆的面积等于 $\pi$ ，可以用数值积分公式来计算这个面积的近似值，另一个方法是蒙特卡罗法，即用随机投点的方法来计算这个面积 $\pi$ 的近似值，下面程序中取 $n$ 分别为10000、100000、500000计算 $\pi$ 的值，分析n取不同值时所得结果的差异。

蒙特卡罗法计算π结果分析： $n$ 取不同的值时可以看出蒙特卡罗法计算 $\pi$ 结果精度都不高，运行的速度比较快，随着 $n$ 的增大，运行时间明显增加，但结果的精度也随之提高。

泰勒级数法计算 $\pi$ 结果分析：这种方法运算结果的时间比较长，计算的结果的精度非常高。

五．实验总结：

可以通过不同的方法计算 $\pi$ 的值，在上述三种方法中，蒙特卡罗法的精度不高，但程序运行的速度比较快，而泰勒级数法计算的结果精度非常高，运行的速度比较慢，数值积分法计算的结果精度也比较高，蒙特卡罗法和数值积分法随着 $n$ 的值的增大，运行地结果精度越来越高，但运行的速度都降越来越低。

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