作者：禅与计算机程序设计艺术
1.简介
卷积神经网络（Convolutional Neural Network，CNN）是一种适用于图像识别、物体检测、语音识别等领域的深度学习模型。它的核心结构就是由卷积层、池化层和全连接层组成的网络。本文从数学角度详细阐述卷积神经网络中不同卷积层的特点及其计算方式。
2. Basic Concepts and Terminologies
2.1. Convolutional Layer
在深度学习中，卷积神经网络由卷积层、池化层和全连接层构成，其中卷积层是最重要的一个模块，它通过对输入数据进行卷积操作提取出特征并降维，然后通过激活函数进行非线性变换，传给下一层处理。卷积层中的参数主要包括权重和偏置项，前者决定了卷积运算的能力，后者则是对卷积输出的加上或减去某种值。
在图像处理中，卷积是一种微观上对二维矩阵操作的方式。假设我们有一个大小为$n\times n$的矩阵$I$（通常表示为灰度图），另有一个大小为$k\times k$的矩阵$K$，这两个矩阵可以看做滤波器（Filter）。将两个矩阵作按元素相乘，得到的结果是一个新的矩阵$S=I*K$，该矩阵的大小为$(n-k+1)\times (m-k+1)$，即滤波器平移后的结果。在矩阵$I$中，如果某一位置的像素值与滤波器的中心对应位置的像素值一致，则认为该位置对滤波器的响应最大。我们用$\star$表示滤波器的中心位置，则滤波器操作可由如下公式表示：
$$ \text{conv}(I, K)=\sum_{i,j} I(x_i,