（MATLAB）第四章-向量与多项式-EW帮帮网

$\vec{v}=\left( v_x,v_y,v_z \right) ^T,\ \vec{u}=\left( u_x,u_y,u_z \right) ^T,\ \vec{v}\times \vec{u}=\left| \begin{matrix} \vec{i}& \vec{j}& \vec{k}\\ v_x& v_y& v_z\\ u_x& u_y& u_z\\ \end{matrix} \right|=\left( \begin{array}{c} v_yu_z-v_zu_y\\ v_zu_x-v_xu_z\\ v_xu_y-v_yu_x\\ \end{array} \right)$

计算机中常用方法将叉乘改为点乘方法：

$\ \vec{v}\times \vec{u}=V\cdot \vec{u}=\left( \begin{matrix} 0& -v_z& v_y\\ v_z& 0& -v_x\\ -v_y& v_x& 0\\ \end{matrix} \right) \left( \begin{array}{c} u_x\\ u_y\\ u_z\\ \end{array} \right)$

cross(a,b) 注意a、b必须是3维向量

cross(a,b,dim) a、b在dim维的叉积且size(a,dim)、size(b,dim)必须为3

4. 混合积运算

混合积运算：

$\left( \mathbf{a}\times \mathbf{b} \right) \cdot \mathbf{c\ \ }V=\left| \mathbf{a}\times \mathbf{b} \right|\left| \mathbf{c} \right|\left| \cos \varphi \right|=\left| \left( \mathbf{a}\times \mathbf{b} \right) \cdot \mathbf{c} \right|$

由dot和cross共同实现，如d=dot(a,cross(b,c))

4.2 多项式

n次多项式： $\sum_{i=0}^n{a_{n-i}x^i}=a_nx^0+a_{n-1}x^1+...+a_1x^{n-1}+a_0x^n$

系数向量表示（零不可省略）（注意从高阶到低阶）： $p=\left[ a_n,a_{n-1},...,a_1,a_0 \right]$

4.2.1 多项式的创建

1. 基本格式：poly2sym(p)

2. 用多项式的根构造多项式

输入n阶多项式的根（矩阵）：root=[x1 x2 … xn]（可以有复数）

p=poly(root) （ poly - 具有指定根的多项式或特征多项式，此 MATLAB 函数（其中 root 是向量）返回多项式的系数，其中多项式的根是 root 的元素。）

poly2sym(p)

4.2.2 数值多项式·四则运算

1. 加减法：相加减的向量阶次必须相同（低阶次多项式必须用0补齐）

2. 乘法：用conv(p1,p2)实现，相当于执行两个数组的卷积

3. 除法：用deconv(p1,p2)实现，相当于执行两个数组的解卷

格式：[k,r]=deconv(p,q) k为多项式p除以q的商，r是余式（p=conv(q,k)+r）

补充：多项式乘法问题（多项式卷积，convolution）——

已知两个多项式 $f\left( x \right) =a_0+a_1x+a_2x^2+....+a_{n-1}x^{n-1}+a_nx^n $$ $$ g\left( x \right) =b_0+b_1x+b_2x^2+....+b_{m-1}x^{m-1}+b_mx^m$ 相乘，得到多项式：

$h\left( x \right) =f\left( x \right) \cdot g\left( x \right) =c_0+c_1x+c_2x^2+....+c_{n+m-1}x^{n+m-1}+c_{n+m}x^{n+m}$

多项式系数：

$c_r=a_rb_0+a_{r-1}b_1+a_{r-2}b_2+...+a_2b_{r-2}+a_1b_{r-1}+a_0b_r=\sum_{i=0}^r{a_ib_{r-i}}\ 0\le r\le m+n$

因此有：

$p_f=\left[ a_n,a_{n-1},...,a_2,a_1,a_0 \right] ,\ p_g=\left[ b_m,b_{m-1},...,b_2,b_1,b_0 \right] $$ $$ p_h=\left[ c_{n+m},c_{n+m-1},...,c_2,c_1,c_0 \right] =p_f*p_g=conv\left( p_f,p_g \right) \text{}$

注：如果把以上所有式子中的x化妆成为z,上述推导过程其实就是论证Z变换的性质之一“时域卷积对应于z域相乘”的过程

4.2.3 多项式导数运算 polyder(p)

示例：

>> p=1:10
>> p1=poly2sym(p)
>> m1=polyder(p)
>> p2=poly2sym(m1)

p =

     1     2     3     4     5     6     7     8     9    10

 
p1 =
 
x^9 + 2*x^8 + 3*x^7 + 4*x^6 + 5*x^5 + 6*x^4 + 7*x^3 + 8*x^2 + 9*x + 10
 

m1 =

     9    16    21    24    25    24    21    16     9

 
p2 =
 
9*x^8 + 16*x^7 + 21*x^6 + 24*x^5 + 25*x^4 + 24*x^3 + 21*x^2 + 16*x + 9

4.3 特殊变量

4.3.1 单元型变量

单元型变量是以单元为元素的数组，每个元素称为单元，每个单元可以包括其他类型的数组如实数矩阵、字符串、复数向量。以“{}”创建，数据通过数组下表引用

1. 单元型变量的创建

（1）赋值语句直接定义定义需要大括号，元素之间用“，”或“；”隔开

示例：

>> A=[1 2;3 4];
>> B=3+2*i;
>> C='efg';
>> D=2;
>> E={A,B;C,D}

E =

  2×2 cell 数组

    {2×2 double}    {[3.000000000000000 + 2.000000000000000i]}
    {'efg'     }    {[                                     2]}

MATLAB语言会根据显示的需要决定是将单元元素完全显示，还是只显示存储量来代替。

（2）对单元的元素逐个赋值

实现预分配存储空间的函数时cell()。在MATLAB中可以用函数cell()生成单元数组：

1）cell(N)生成一个n*n阶的置空单元数组

2）cell(M,N)或者cell([M,N])生成一个m*n阶的置空单元数组

3）cell(M,N,P…)或者cell([M,N,P…])生成一个m*n*p*…阶置空的单元数组

4）cell(size(A))生成与A形式相同的单元型置空矩阵

示例：

>> E=cell(1,3);
>> E{1,1}=[1:4];
>> E{1,2}=3+2*i;
>> E{1,3}=2;
>> E

E =

  1×3 cell 数组

    {[1 2 3 4]}    {[3.000000000000000 + 2.000000000000000i]}    {[2]}

2. 单元型变量的引用

变量的引用应采用大括号如{i,j}（引用该元素内的具体内容），而通过小括号引用只显示该元素的压缩形式

接上例：

>> E{1} %引用单元型变量的第一个单元，显示该单元的具体值

ans =

     1     2     3     4

>> E(1) %引用单元型变量的第一个单元，显示该单元的压缩形式 

ans =

  1×1 cell 数组

    {[1 2 3 4]}

3. MATLAB语言中关于单元型变量的函数

函数名	说明
cell	生成单元形变量
cellfun	对单元型变量中的元素作用的
celldisp(C)	显示单元型变量C的内容
cellplot	用图形显示单元型变量的内容
num2cell	将数值转换成单元型变量
deal	输入输出处理
cell2struct	将单元型变量转换成结构型变量
struct2cell	将结构型变量转换成单元型变量
iscell	判断是否为单元型变量
reshape	改变单元数组的结构

注：

（1）celldisp(C,’name’) 在窗口中显示的单元型变量的内容为name（而不是ans）

（2）H=cellplot(C) 返回一个向量，这个向量综合体现了表面、线和句柄；

H=cellplot(C,’lengend’) 增加了图形注释legend

示例：

>> E=cell(1,3);
>> E{1,1}=[1:4];
>> B=3+2*i;
>> E{1,2}=B; 
>> E{1,3}=2;
>> cellfun('islogical',E) %判断单元型变量E中的元素是否为逻辑变量
>> cellplot(E) %使用图形化的方式显示单元变量

4.3.2 结构型变量（⭐）

1. 结构体变量的创建和引用

结构体变量是根据属性名（field）组织起来的不同数据类型的集合。结构的任何一个属性可以包括不同的数据类型，如字符串、矩阵等。采用struct()构建：

调用格式	说明
s=struct(‘field1’,{},’field2’,{},…)	表示建立一个空的结构数组，不含数组
s=struct(‘field1’,values1,’field2’,values2,…)	表示建立一个具有属性名和数据的结构数组

示例：

>> mn=struct('color',{'red', 'black'},'number',{1,2})
>> mn(1)          % 结构型变量数据通过属性名来引用
>> mn(2)
>> mn(2).color

mn = 

  包含以下字段的 1×2 struct 数组:

    color
    number


ans = 

  包含以下字段的 struct:

     color: 'red'
    number: 1


ans = 

  包含以下字段的 struct:

     color: 'black'
    number: 2


ans =

    'black'

2. 结构体变量的相关函数

函数名	说明
struct	创建结构体变量
fieldname	得到结构体变量的属性名
getfield	得到结构体变量的属性值
setfield	设定结构体变量的属性值
rmfield	删除结构体变量的属性
isfield	判断是否为结构体变量的属性
isstruct	判断是否为结构体变量

参考资料：

[1] 天工在线. MATLAB2020从入门到精通·实战案例版[M]. 北京: 中国水利水电出版社, 2020.

（MATLAB）第四章-向量与多项式

4.1 向量

4.1.1 向量的生成

（1）直接输入法

（2）冒号法（冒号生成间隔相等的数组）

（3）利用函数linspace()创建向量

（4）利用logspace()创建一个对数分割的向量

4.1.2 向量元素的引用

4.1.3 向量运算

1. 四则运算

2. 点积运算

3. 叉积运算

4. 混合积运算

4.2 多项式

4.2.1 多项式的创建

1. 基本格式：poly2sym(p)

2. 用多项式的根构造多项式

4.2.2 数值多项式·四则运算

1. 加减法：相加减的向量阶次必须相同（低阶次多项式必须用0补齐）

2. 乘法：用conv(p1,p2)实现，相当于执行两个数组的卷积

3. 除法：用deconv(p1,p2)实现，相当于执行两个数组的解卷

补充：多项式乘法问题（多项式卷积，convolution）——

4.2.3 多项式导数运算 polyder(p)

4.3 特殊变量

4.3.1 单元型变量

1. 单元型变量的创建

（1）赋值语句直接定义定义需要大括号，元素之间用“，”或“；”隔开

（2）对单元的元素逐个赋值

2. 单元型变量的引用

3. MATLAB语言中关于单元型变量的函数

4.3.2 结构型变量（⭐）

1. 结构体变量的创建和引用

2. 结构体变量的相关函数

参考资料：

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4.1 向量

4.1.1 向量的生成

（1）直接输入法

（2）冒号法（冒号生成间隔相等的数组）

（3）利用函数linspace()创建向量

（4）利用logspace()创建一个对数分割的向量

4.1.2 向量元素的引用

4.1.3 向量运算

1. 四则运算

2. 点积运算

3. 叉积运算

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4.2.1 多项式的创建

1. 基本格式：poly2sym(p)

2. 用多项式的根构造多项式

4.2.2 数值多项式·四则运算

1. 加减法：相加减的向量阶次必须相同（低阶次多项式必须用0补齐）

2. 乘法：用conv(p1,p2)实现，相当于执行两个数组的卷积

3. 除法：用deconv(p1,p2)实现，相当于执行两个数组的解卷

补充：多项式乘法问题（多项式卷积，convolution）——

4.2.3 多项式导数运算 polyder(p)

4.3 特殊变量

4.3.1 单元型变量

1. 单元型变量的创建

（1）赋值语句直接定义 定义需要大括号，元素之间用“，”或“；”隔开

（2） 对单元的元素逐个赋值

2. 单元型变量的引用

3. MATLAB语言中关于单元型变量的函数

4.3.2 结构型变量（⭐）

1. 结构体变量的创建和引用

2. 结构体变量的相关函数

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（2）对单元的元素逐个赋值