【数学建模】DVD在线租赁

2005高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目B
随着信息时代的到来，网络成为人们生活中越来越不可或缺的元素之一。许多网站利用其强大的资源和知名度，面向其会员群提供日益专业化和便捷化的服务。例如，音像制品的在线租赁就是一种可行的服务。这项服务充分发挥了网络的诸多优势，包括传播范围广泛、直达核心消费群、强烈的互动性、感官性强、成本相对低廉等，为顾客提供更为周到的服务。
考虑如下的在线DVD租赁问题。顾客缴纳一定数量的月费成为会员，订购DVD租赁服务。会员对哪些DVD有兴趣，只要在线提交订单，网站就会通过快递的方式尽可能满足要求。会员提交的订单包括多张DVD，这些DVD是基于其偏爱程度排序的。网站会根据手头现有的DVD数量和会员的订单进行分发。每个会员每个月租赁次数不得超过2次，每次获得3张DVD。会员看完3张DVD之后，只需要将DVD放进网站提供的信封里寄回（邮费由网站承担），就可以继续下次租赁。请考虑以下问题：

1）网站正准备购买一些新的DVD，通过问卷调查1000个会员，得到了愿意观看这些DVD的人数（表1给出了其中5种DVD的数据）。此外，历史数据显示，60%的会员每月租赁DVD两次，而另外的40%只租一次。假设网站现有10万个会员，对表1中的每种DVD来说，应该至少准备多少张，才能保证希望看到该DVD的会员中至少50%在一个月内能够看到该DVD？如果要求保证在三个月内至少95%的会员能够看到该DVD呢？
2）表2中列出了网站手上100种DVD的现有张数和当前需要处理的1000位会员的在线订单（表2的数据格式示例如下表2），如何对这些DVD进行分配，才能使会员获得最大的满意度？请具体列出前30位会员（即C0001~C0030）分别获得哪些DVD。
3）继续考虑表2，并假设表2中DVD的现有数量全部为0。如果你是网站经营管理人员，你如何决定每种DVD的购买量，以及如何对这些DVD进行分配，才能使一个月内95%的会员得到他想看的DVD，并且满意度最大？
4）如果你是网站经营管理人员，你觉得在DVD的需求预测、购买和分配中还有哪些重要问题值得研究？请明确提出你的问题，并尝试建立相应的数学模型。

表1 对1000个会员调查的部分结果

注：D001~D100表示100种DVD, C0001~C1000表示1000个会员, 会员的在线订单用数字1,2,…表示，数字越小表示会员的偏爱程度越高，数字0表示对应的DVD当前不在会员的在线订单中。
（注：表2数据位于文件B2005Table2.xls中）

question1

question1.1

建立租赁模型:
设有$x$张DVD，想看会员数为两万，满足度为$50\%$
有$a\%$个会员租赁两次，$(1-a)\%$个会员租赁一次
可得：$2\ast x\ast a\%+x\ast (1-a)\%=20000\ast 0.5$
根据题目可知$a=60$
解得$x=6250$

将模型一般化，设统计中愿意观看的人数为$b$,满足度为$w$,则想看会员数为$b/1000\ast 100000$
$x=\lceil (b/1000\ast 100000\ast w)/(2\ast a\%+(1-a\%))\rceil$

question1.2 如果要求保证在三个月内至少95%的会员能够看到该DVD呢？

以下模型建立在租两次的会员月初租赁，月末还 ， 租一次的会员月初租，下月初还

建立会员重复模型：
设第$i$个月来的会员数为$y_i$个会员
每个月有$a\%$个会员租赁两次，$(1-a)\%$个会员租赁一次，$a=60$
设会员重复率为$C\%$ , $C=50$
则其中$\min (a\%y_j\ast C\%,a\%y_i\ast C\%)$和是同一个会员
其中$\min ((1-a)\%y_j\ast C\%,(1-a)\%y_i\ast C\%)$和是同一个会员

引入question1.1的模型
设统计中愿意观看的人数为$b$,满足度为$w$,则想看会员数为$b/1000\ast 100000$

设第$i$个月有$x$张DVD
有$a\%$个会员租赁两次，$(1-a)\%$个会员租赁一次
第$i$个月来的满足的会员数为$y_i$个会员
可得：$2\ast x_i\ast a\%+x_i\ast (1-a)\%=y_i$

来的会员总数减去重复会员数必须大于等于要满足的会员数
$\{\begin{array}{l}{y}_1+y_2+y_3-\min (a\%y_2\ast C\%,a\%y_1\ast C\%)-\min (a\%y_3\ast C\%,a\%y_2\ast C\%)-\min (a\%y_1\ast C\%,a\%y_3\ast C\%)-\min ((1-a)\%y_2\ast C\%,(1-a)\%y_1\ast C\%)-\min ((1-a)\%y_3\ast C\%,(1-a)\%y_2\ast C\%)-\min ((1-a)\%y_1\ast C\%,(1-a)\%y_3\ast C\%)\ge b/1000\ast 100000\ast w\\ 2\ast x_i\ast a\%+x_i\ast (1-a)\%=y_i,i=1,2,3\\ ans=min(x_1+x_2+x_3)\end{array}$

question2

设变量$x_{ij}$为租赁给第$i$个会员第$j$种DVD的情况，设定$x_{ij}=1$为租，$x_{ij}=0$为不租
如果有$n$个客户,$m$种DVD,客户在线订单数为$orde{r}_{ij}$
则单个会员满意量为$b_{ij}=\{\begin{array}{l}(11-orde{r}_{ij}),orde{r}_{ij}>0\\ 0,orde{r}_{ij}=0\end{array}$
那么客户总满意度量:$\max ans={\sum }_{1\le i\le n,1\le j\le m}{x}_{ij}\ast b_{ij}$

要保证DVD数量不能超标
设第$j$种DVD有$su{m}_j$个，题目已知$su{m}_j$
${\sum }_{1\le i\le n}{x}_{ij}<=su{m}_j,j=1,2,\mathrm{3....},m$

每个客户发3张不同的DVD或者不发DVD：
设0/1变量 $y_i$
${\sum }_{1\le j\le m}{x}_{ij}=y_i\ast 3,i=1,2,3,..n$

需要保证每个人都不会收到自己不喜欢的DVD，即客户在线订单数为0时候，不可以租给他。
$x_{ij}\le orde{r}_{ij},i=1,2,3,..n,j=1,2,3,..m$

LINGO求解：

sets:
  aa/1..1000/:y;
  bb/1..100/:sum;
  cc(aa,bb):order,x,b;
endsets
data:
order = @ole('D:\homewrok\建模\DVD租赁\B2005Table2.xls','order');
sum = @ole('D:\homewrok\建模\DVD租赁\B2005Table2.xls','dvdsumj');
enddata

@for(cc(i,j):b(i,j)=@if(order(i,j)#gt#0,11-order(i,j),0));
max=@sum(cc(i,j):x(i,j)*b(i,j));
@for(bb(j):@sum(aa(i):x(i,j))<=sum(j));
@for(aa(i):@sum(bb(j):x(i,j))=y(i)*3);
@for(cc(i,j):x(i,j)<=order(i,j));
@for(cc(i,j):@bin(x(i,j)));
@for(aa(i):@bin(y(i)));

注：LINGO读取EXCEL方法

question3

在满足第二问的模型下:注意:$su{m}_j$是变量(未知)

$\{\begin{array}{l}{b}_{ij}=\{\begin{array}{l}(11-orde{r}_{ij}),orde{r}_{ij}>0\\ 0,orde{r}_{ij}=0\end{array}\\ \max ans={\sum }_{1\le i\le n,1\le j\le m}{x}_{ij}\ast b_{ij}\\ {\sum }_{1\le i\le n}{x}_{ij}<=su{m}_j,j=1,2,\mathrm{3....},m\\ {\sum }_{1\le j\le m}{x}_{ij}=y_i\ast 3,i=1,2,3,..n\\ x_{ij}\le orde{r}_{ij},i=1,2,3,..n,j=1,2,3,..m\end{array}$

因为$su{m}_j$是变量,我们决定每种DVD的购买量,需要满足DVD总量不变,设已知总量为$nu{m}_{sum}$
${\sum }_{1\le j\le m}su{m}_j=nu{m}_{sum}$

要使一个月内95%的会员得到他想看的DVD,按照第二问的限制下即发三张DVD就是满足该客户，否则不满足
${\sum }_{1\le i\le n}{y}_i\ge n\ast 95\%$

再加上要使一个月内95%的会员得到他想看的DVD(舍弃)
${\sum }_{1\le i\le n}({\sum }_{1\le j\le m}(orde{r}_{ij}!=0)={\sum }_{1\le j\le m}{x}_{ij}\ast (orde{r}_{ij}!=0))\ge n\ast 95\%$

LINGO求解：

sets:
  aa/1..1000/:y;
  bb/1..100/:sum,num;
  cc(aa,bb):order,x,b;
endsets
data:
order = @ole('D:\homewrok\建模\DVD租赁\B2005Table2.xls','order');
num = @ole('D:\homewrok\建模\DVD租赁\B2005Table2.xls','dvdsumj');
enddata

@for(cc(i,j):b(i,j)=@if(order(i,j)#gt#0,11-order(i,j),0));
max=@sum(cc(i,j):x(i,j)*b(i,j));
@for(bb(j):@sum(aa(i):x(i,j))<=sum(j));
@for(aa(i):@sum(bb(j):x(i,j))=y(i)*3);
@for(cc(i,j):x(i,j)<=order(i,j));
@sum(bb(j):sum(j))=@sum(bb(j):num(j));
@sum(aa(i):y(i))>=950;
@for(cc(i,j):@bin(x(i,j)));
@for(aa(i):@bin(y(i)));