搜索算法系列之二(二分查找)

前言

二分查找仅适用于有序数据、有序数组，二分查询大数据情况下表现较好，但数据量仍限制于内存。

算法原理

二分查找(Binary Search)，是一种高效的查找算法，适用于已经排好序的数组。其基本原理是每次将待查找区间分成两部分，通过与中间元素的比较来确定目标元素可能存在的区间，从而缩小查找范围，直到找到目标元素或确定目标元素不存在为止，时间复杂度为O(log n),空间复杂度O(1)。

以下是二分查找的基本原理步骤：

1. 确定查找范围：首先，确定待查找的数组范围，通常是整个数组。

2. 计算中间位置：计算查找范围的中间位置索引，即 (左边界 + 右边界) / 2。如果数组长度为奇数，则向下取整。

3. 比较中间元素：将目标元素与中间位置的元素进行比较。

   • 如果目标元素等于中间位置的元素，则找到目标元素，返回中间位置的索引。
   • 如果目标元素小于中间位置的元素，则在左半部分继续查找，将右边界设为中间位置的左侧。
   • 如果目标元素大于中间位置的元素，则在右半部分继续查找，将左边界设为中间位置的右侧。

4. 缩小查找范围：根据比较的结果，缩小待查找区间，重复执行步骤2和步骤3，直到找到目标元素或确定目标元素不存在。

代码实现(c)

#include <stdio.h>

int binarySearch(int arr[], int left, int right, int target) {
    while (left <= right) {
        int mid = left + (right - left) / 2;
        
        // 如果目标元素等于中间位置的元素，则返回中间位置的索引
        if (arr[mid] == target) {
            return mid;
        }
        
        // 如果目标元素小于中间位置的元素，则在左半部分继续查找
        else if (arr[mid] > target) {
            right = mid - 1;
        }
        
        // 如果目标元素大于中间位置的元素，则在右半部分继续查找
        else {
            left = mid + 1;
        }
    }
    
    // 如果循环结束仍未找到目标元素，则返回-1表示不存在
    return -1;
}

int main() {
    int arr[] = {2, 5, 8, 12, 16, 23, 38, 56, 72, 91};
    int n = sizeof(arr) / sizeof(arr[0]);
    int target = 23;
    
    int result = binarySearch(arr, 0, n - 1, target);
    if (result != -1) {
        printf("Element %d found at index %d.\n", target, result);
    } else {
        printf("Element %d not found in the array.\n", target);
    }
    
    return 0;
}

优点与局限性¶

二分查找在时间和空间方面都有较好的性能。

• 二分查找的时间效率高。在大数据量下，对数阶的时间复杂度具有显著优势。
• 二分查找无须额外空间。相较于需要借助额外空间的搜索算法（例如哈希查找）。

然而，二分查找并非适用于所有情况，主要有以下原因。

• 二分查找仅适用于有序数据。若输入数据无序，为了使用二分查找而专门进行排序，得不偿失。因为排序算法的时间复杂度通常为 𝑂(𝑛log⁡𝑛) ，比线性查找和二分查找都更高。对于频繁插入元素的场景，为保持数组有序性，需要将元素插入到特定位置，时间复杂度为 𝑂(𝑛) ，也是非常昂贵的。
• 二分查找仅适用于数组。二分查找需要跳跃式（非连续地）访问元素，而在链表中执行跳跃式访问的效率较低，因此不适合应用在链表或基于链表实现的数据结构。
• 小数据量下，线性查找性能更佳。在线性查找中，每轮只需 1 次判断操作；而在二分查找中，需要 1 次加法、1 次除法、1 ~ 3 次判断操作、1 次加法（减法），共 4 ~ 6 个单元操作；因此，当数据量 𝑛 较小时，线性查找反而比二分查找更快。