高等数学 2.2 函数的求导法则

1、常数和基本初等函数的导数公式

2、函数的和、差、积、商的求导法则

设 $u=u(x),v=v(x)$ 都可导，则

（1）$(u\pm v{)}^{\prime }=u^{\prime }\pm v^{\prime }$
（2）$(Cu{)}^{\prime }=C{u}^{\prime }(C是常数)$
（3）$(uv{)}^{\prime }=u^{\prime }v+u{v}^{\prime }$
（4）${\left(\frac{u}{v}\right)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }v-u{v}^{\prime }}{v^2}(v\ne 0)$

3、反函数的求导法则

设 $x=f(y)$ 在区间 $I_y$ 内单调、可导且 $f^{\prime }(y)\ne 0$ ，则它的反函数 $y=f^{-1}(x)$ 在 $I_x=f(I_y)$ 内也可导，且
$$[f^{-1}(x){]}^{\prime }=\frac{1}{f^{\prime }(y)}或\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{1}{\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}y}}.$$

4、复合函数的求导法则

设 $y=f(u)$ ，而 $u=\mathrm{g}(x)$ 且 $f(u)$ 及 $\mathrm{g}(x)$ 都可导，则复合函数 $y=f[\mathrm{g}(x)]$ 的导数为
$$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}u}\cdot \frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}或y^{\prime }(x)=f^{\prime }(u){\mathrm{g}}^{\prime }(x).$$

例 设 $y=\sin nx\cdot {\sin }^{n}x$ （$n$ 为常数），求 $y^{\prime }$ .
解首先应用积的求导法则得
$$y^{\prime }=(\sin nx{)}^{\prime }\cdot {\sin }^{n}x+\sin nx\cdot ({\sin }^{n}x)$$
在计算 $(\sin nx{)}^{\prime }$ 与 $({\sin }^{n}x{)}^{\prime }$ 时，都要应用复合函数的求导法则，由此得
$$\begin{array}{rl}{y}^{\prime }& =n\cos nx\cdot {\sin }^{n}x+\sin nx\cdot n{\sin }^{n-1}x\cdot \cos x\\ & =n{\sin }^{n-1}x(\cos nx\cdot \sin x+\sin nx\cdot \cos x)\\ & =n{\sin }^{n-1}x\cdot \sin (n+1)x\end{array}$$

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