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1. 二叉搜索树的介绍
1.1 概念
二叉搜索树又称二叉排序树(中序遍历是升序)，它或者是一棵空树，或者是具有以下性质的二叉树:
- 若它的左子树不为空，则左子树上所有结点的值都小于等于根结点的值
- 若它的右子树不为空，则右子树上所有结点的值都大于等于根结点的值
- 它的左右子树也分别为二叉搜索树
- 二叉搜索树中可以支持插入相等的值，也可以不支持插入相等的值，具体看使用场景定义，STL容器中的map/set/multimap/multiset系列容器底层就是二叉搜索树的变形，其中map/set不支持插入相等值，multimap/multiset支持插入相等值
下图都为二叉搜索树：
1.2 二叉搜索树的性能分析
- 最优情况下，二叉搜索树为完全二叉树(或者接近完全二叉树)，其高度为：O(log2N)
- 最差情况下，二叉搜索树退化为单支树(或者类似单支)，其高度为：O(N/2)
- 所以综合而言二叉搜索树增删查改时间复杂度为：O(N)
那么这样的效率显然是无法满足我们需求的，后面几篇文章会介绍二叉搜索树的变形如：平衡二叉搜索树、AVL树和红黑树，这些才能适用于我们在内存中存储和搜索数据。
另外需要说明的是，二分查找也可以实现O(logN) 级别的查找效率，但是二分查找有两大缺陷：
- 1.需要存储在支持下标随机访问的结构中，并且有序。
- 2.插入和删除数据效率很低，因为存储在下标随机访问的结构中，插入和删除数据一般需要挪动数据。
这也从侧面体现出了平衡二叉搜索树的价值。
2. 二叉搜索树的增删查改
2.1 插入
插入的树结点结构为：
template<class K, class V>
struct BSTreeNode// key/value结构
{
K _key;// _key是关键字，增删查改都按关键字进行，不允许修改_key值
V _val;// _val是另存储的值，可支持修改
struct BSTreeNode<K, V>* _left;
struct BSTreeNode<K, V>* _right;
BSTreeNode(const K& key, const V& val)
:_key(key), _val(val)
, _left(nullptr), _right(nullptr) {}
};
插入的具体过程如下：
- 1.树为空，则直接新增结点，赋值给root指针
- 2.树不空，按二叉搜索树性质，插入值比当前结点大往右走，插入值比当前结点小往左走，找到空位置，插入新结点。
- 3.如果支持插入相等的值，插入值跟当前结点相等的值可以往右走，也可以往左走，找到空位置，插入新结点。(要注意的是要保持逻辑一致性，插入相等的值不要一会往右走，⼀会往左走)
下图是一颗二叉搜索树的插入步骤图(都以没有重复值的为例)：
代码如下：
//规定按key值比较，比根小插入至左子树，比根大插入至右子树，key值相同不插入并返回false
bool Insert(const K& key, const V& value)
{
if (_root == nullptr)//空树直接插入
{
Node* newnode = new Node(key, value);
_root = newnode;
return true;
}
Node* cur = _root; //遍历
Node* parent = nullptr;//记录父亲
while (cur)//循环从根遍历找合适空位
{
if (key < cur->_key)//比根小
{
parent = cur;
cur = cur->_left;
}
else if (key > cur->_key)//比根大
{
parent = cur;
cur = cur->_right;
}
else
return false;//跟根相等
}
//cur为空，说明找到空位，直接用parent链接
Node* newnode = new Node(key, value);
if (key < parent->_key)//链接时再进行判断
parent->_left = newnode;
else
parent->_right = newnode;
return true;
}
2.2 查找
查找显然有两种方式：
- 1.遍历查找
- 2.利用搜索树性质查找
- 第一种，通过遍历进行查找，时间复杂度最好为O(1)，最坏为O(N)，平均为O(N)
- 第二种，利用搜索树特性查找，时间复杂度最好为O(1)，近似单支树时是最坏：为O(N)，近似完全二叉树时是平均：为O(logN)
这里以第二种实现为例：
- 从根开始比较，查找key，key比根的值大则往右边走查找，key比根值小则往左边走查找。
- 最多查找高度次，走到为空，还没找到，这个值不存在。
- 如果不支持插入相等的值，找到x即可返回。
Node* Find(const K& key)
{
if (_root == nullptr)//空树返回空
return nullptr;
Node* cur = _root;
while (cur)
{
if (key < cur->_key)
cur = cur->_left;
else if (key > cur->_key)
cur = cur->_right;
else
return cur;
}
return nullptr;//找完了没找到，就返回空
}
2.3 删除（重点）
- 讨论：
Ⅰ.首先查找元素是否在二叉搜索树中，如果不存在，则返回false。
Ⅱ.如果查找元素存在则分以下四种情况分别处理：（假设要删除的结点为N）
- 要删除结点N左右孩子均为空
- 要删除的结点N左孩子为空，右孩子结点不为空
- 要删除的结点N右孩子为空，左孩子结点不为空
- 要删除的结点N左右孩子结点均不为空
- 解决：
- 把N结点的父亲对应孩子指针指向空，直接删除N结点（情况1可以当成2或者3处理，效果是一样的）
- 把N结点的父亲对应孩子指针指向N的右孩子，直接删除N结点
- 把N结点的父亲对应孩子指针指向N的左孩子，直接删除N结点
- 无法直接删除N结点，因为N的两个孩子无处安放，只能用替换法删除。找N的左子树的最右结点R(左子树最大结点)或者N的右子树的最左结点L(右子树最小结点)替代N，因为这两个结点中任意一个，放到N的位置，都满足二叉搜索树的规则。替代N的意思就是N和L(或R)的两个结点的值交换，转而变成删除L(或R)结点，替换后L(或R)结点符合情况2或情况3，可以直接删除。
对于为什么情况1可以看成2或3来处理，解释如下：
- (1)N的左直接看成空，把N的右孩子特殊，看成是个空的孩子，就变成情况2
- (2)或者把N的左孩子特殊，看成是个空的孩子，右直接看成空，就变成情况3
下图是一颗二叉搜索树的删除步骤图(涉及替换时，红色结点为删除结点，绿色结点为替换结点)：
附上代码(替换结点为N的左子树的最右结点)：
bool Erase(const K& key)//特别考验逻辑与思考全面性
{
if (_root == nullptr)//空树删除不了
return false;
Node* cur = _root;
Node* parent = cur;
while (cur)//循环去找要删除的结点
{
if (key < cur->_key)
{
parent = cur;
cur = cur->_left;
}
else if (key > cur->_key)
{
parent = cur;
cur = cur->_right;
}
else //找到要删除的结点
{
//有四种情况---对应解决法
//1.删除结点N左右都为空---N的父亲对应N的指针指向为空，直接删除N，
// 这种可以看成一种特殊情况的2或3，即:
// (1)N的左直接看成空，把N的右孩子特殊，看成是个空的孩子，
// (2)或者把N的左孩子特殊，看成是个空的孩子，右直接看成空
// 故这里可以不用实现情况1
//2.删除结点N左为空，右不为空---N的父亲对应N的指针指向N的右孩子，直接删除N
if (cur->_left == nullptr)
{
if (_root == cur)// 删除根时
_root = cur->_right;
else
{
if (parent->_left == cur)//这里还要判断要删除的N对应是其父亲的左还是右孩子
parent->_left = cur->_right;
else
parent->_right = cur->_right;
}
delete cur;
}
//3.删除结点N左不为空，右为空---N的父亲对应N的指针指向N的左孩子，直接删除N
else if (cur->_right == nullptr)
{
if (_root == cur)
_root = cur->_left;
else
{
if (parent->_left == cur)
parent->_left = cur->_left;
else
parent->_right = cur->_left;
}
delete cur;
}
//4.删除结点N左右均不为空---不能直接删除N，删除会破坏结构，只能用对应结点替换法，
// 替换不是直接交换结点，而是交换结点内的key和val值，替换规则如下：
// (1) 若N的左子树不为空，则找N的左子树的最大结点，也就是N的左子树的最右结点
// (2) 若N的右子树不为空，则找N的右子树的最小结点，也就是N的右子树的最左结点
// 然后执行替换结点内的值，此时要删除结点就变成了交换后的结点，删除情况就变为情况2或3了,这里实现(1)
else //左右都不为空
{
Node* find = cur->_left;//找替换结点
Node* find_parent = cur;//记录替换结点的父亲
while (find->_right)//一直在N的左子树中找右结点，直至最右结点(也就是左子树最大结点)
{
find_parent = find;
find = find->_right;
}
std::swap(find->_key, cur->_key);
std::swap(find->_val, cur->_val);
if (find->_left == nullptr)
{
if (find_parent->_left == find)//这里还要判断替换的结点对应是其父亲的左还是右孩子
find_parent->_left = find->_right;
else
find_parent->_right = find->_right;
}
else
{
if (find_parent->_left == find)
find_parent->_left = find->_left;
else
find_parent->_right = find->_left;
}
delete find;
}
return true;
}
}
return false;//出了循环，说明没找到要删除的结点
}
- 代码优化：
基于情况4的特性，发现用的是删除结点N的左子树的最右结点作替换，也就是说这个替换结点的右孩子一定为空，于是上述代码就不要再逐一判断替换后它是属于情况2还是情况3。简单说，经过上述替换操作后，删除结点按情况3来直接进行删除就行。 其次，swap操作直接改为赋值操作效率也会更高些。
类似下图：
改正代码如下：
bool Erase(const K& key)
{
if (_root == nullptr)
return false;
Node* cur = _root;
Node* parent = cur;
while (cur)
{
if (key < cur->_key)
{
parent = cur;
cur = cur->_left;
}
else if (key > cur->_key)
{
parent = cur;
cur = cur->_right;
}
else
{
if (cur->_left == nullptr)
{
if (_root == cur)
_root = cur->_right;
else
{
if (parent->_left == cur)
parent->_left = cur->_right;
else
parent->_right = cur->_right;
}
delete cur;
}
else if (cur->_right == nullptr)
{
if (_root == cur)
_root = cur->_left;
else
{
if (parent->_left == cur)
parent->_left = cur->_left;
else
parent->_right = cur->_left;
}
delete cur;
}
else
{
Node* find = cur->_left;
Node* find_parent = cur;
while (find->_right)
{
find_parent = find;
find = find->_right;
}
cur->_key = find->_key;
cur->_val = find->_val;
if (find_parent->_left == find)
find_parent->_left = find->_left;
else
find_parent->_right = find->_left;
delete find;
}
return true;
}
}
return false;
}
扩展：感兴趣的读者可以尝试用递归删除
3. 二叉搜索树的应用(了解)
3.1 key搜索场景
只有key作为关键码，结构中只需要存储key即可，关键码即为需要搜索到的值，搜索场景只需要判断key在不在。key的搜索场景实现的⼆叉树搜索树支持增删查，但是不支持修改，修改key破坏搜索树结构了。
- 场景1：小区无人值守车库，小区车库买了车位的业主车才能进小区，那么物业会把买了车位的业主的⻋牌号录⼊后台系统，⻋辆进入时扫描车牌在不在系统中，在则抬杆，不在则提示非本小区⻋辆，无法进入。
- 场景2：检查⼀篇英文文章单词拼写是否正确，将词库中所有单词放入二叉搜索树，读取文章中的单词，查找是否在二叉搜索树中，不在则波浪线标红提示。
3.2 key/value搜索场景
每⼀个关键码key，都有与之对应的值value，value可以任意类型对象。树的结构中(结点)除了需要存储key还要存储对应的value，增/删/查还是以key为关键字走二叉搜索树的规则进行比较，可以快速查找到key对应的value。key/value的搜索场景实现的⼆叉树搜索树支持修改，但是不支持修改key，修改key破坏搜索树结构了，修改value则可以。
- 场景1：简单中英互译字典，树的结构中(结点)存储key(英文)和vlaue(中文)，搜索时输入英文，则同时查找到了英文对应的中文。
- 场景2：商场无人值守车库，入口进场时扫描车牌，记录车牌和入场时间，出口离场时，扫描车牌，查找入场时间，用当前时间-入场时间计算出停车时长，计算出停车费用，缴费后抬杆，车辆离场。
- 场景3：统计一篇文章中单词出现的次数，读取一个单词，查找单词是否存在，不存在这个说明第一次出现，（单词，1），单词存在，则++单词对应的次数。