A. Kalevitch and Chess：Python 解题思路与实现

题目背景

在这道题目中，著名画家 Kalevitch 对国际象棋棋盘的设计提出了独特的想法。他希望在传统棋盘上绘制出符合客户需求的白色棋盘，其中的黑色方块（B）必须用特殊涂料覆盖。

为达到这一目的，他可以选择涂染某些完整的行或列。为了节约涂料和绘制成本，他需要确定最小的涂染行数或列数，使棋盘中所有黑色方块（B）都被覆盖。

问题解析

我们需要解决的问题是：最小化需要涂染的行数或列数。为了达成这一目标，分析棋盘中 B 的分布情况至关重要。

输入

• 一个 8×8 的矩阵，其中：
  • B 表示黑色方块，需要覆盖；
  • W 表示白色方块，不需要处理。

输出

• 一个整数，表示满足要求的最小涂染行数或列数。

限制条件

• 数据保证至少存在一种解决方案，即：不会出现 B 无法通过涂染行或列覆盖的情况。

解题思路

这道题核心在于分析棋盘的 B 分布并找出最优涂染策略。通过问题拆解，我们可以用以下步骤解决：

步骤 1：找出需要涂染的行和列

我们遍历棋盘，记录每个存在 B 的行和列。为方便操作，我们可以使用 Python 中的 set 数据结构：

• 使用一个集合 rows_to_paint 记录所有包含 B 的行号；
• 使用另一个集合 cols_to_paint 记录所有包含 B 的列号。

这样，我们可以快速统计需要涂染的行和列的数量。

步骤 2：选择较优策略

完成第一步后，我们会得到两个集合：

1. rows_to_paint 的大小表示需要涂染的行数；
2. cols_to_paint 的大小表示需要涂染的列数。

我们只需取两者的较小值作为最终结果。

步骤 3：输出结果

根据上述计算结果，输出最小涂染数量。

Python 实现

以下是完整的 Python 解法代码：

def minimum_strokes_to_paint(matrix):
    # 记录需要涂染的行和列
    rows_to_paint = set()
    cols_to_paint = set()

    # 遍历棋盘，找出需要涂染的行和列
    for i in range(8):  # 遍历8行
        for j in range(8):  # 遍历8列
            if matrix[i][j] == 'B':  # 如果当前格子是黑色
                rows_to_paint.add(i)  # 添加行号到集合
                cols_to_paint.add(j)  # 添加列号到集合

    # 返回最小的涂染数量（行数或列数中较小的值）
    return min(len(rows_to_paint), len(cols_to_paint))

# 输入部分
if __name__ == "__main__":
    matrix = []
    print("请输入8行棋盘，每行包含8个字符(W 或 B)：")
    for _ in range(8):
        matrix.append(input().strip())  # 输入每一行棋盘数据

    # 调用函数计算结果
    result = minimum_strokes_to_paint(matrix)

    # 输出结果
    print("最小涂染数量：", result)

详细案例分析

案例 1：普通棋盘

输入：

BWBWBWBW
BWBWBWBW
WWWWWWWW
WWWWWWWW
WWWWWWWW
WWWWWWWW
WWWWWWWW
WWWWWWWW

代码执行过程：

1. 遍历矩阵：
   • 涂染行：rows_to_paint = {0, 1}（第 0 行和第 1 行包含 B）。
   • 涂染列：cols_to_paint = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}（所有列都包含 B）。
2. 计算最小值：
   • 涂染行数：len(rows_to_paint) = 2
   • 涂染列数：len(cols_to_paint) = 8
3. 选择较小值作为结果：min(2, 8) = 2

输出：

2

案例 2：纯白棋盘

输入：

WWWWWWWW
WWWWWWWW
WWWWWWWW
WWWWWWWW
WWWWWWWW
WWWWWWWW
WWWWWWWW
WWWWWWWW

代码执行过程：

1. 遍历矩阵：
   • 没有 B，因此 rows_to_paint = {} 和 cols_to_paint = {}。
2. 计算最小值：
   • 涂染行数：len(rows_to_paint) = 0
   • 涂染列数：len(cols_to_paint) = 0
3. 选择较小值作为结果：min(0, 0) = 0

输出：

0

算法复杂度分析

时间复杂度

• 遍历矩阵的时间复杂度为 O(64)（8×8 的固定大小）。
• set 插入操作的时间复杂度为 O(1)，因此记录行和列的复杂度为 O(64)。
• 总时间复杂度为 O(64)，即常数复杂度。

空间复杂度

• 额外空间仅用于存储两个集合 rows_to_paint 和 cols_to_paint，其大小最多为 8。因此，空间复杂度为 O(8 + 8) = O(16)，即常数复杂度。

扩展思考

1. 更大棋盘 如果棋盘的大小扩展到 N×N，算法的时间复杂度将变为 O(N²)，但仍然高效。

2. 涂染顺序 如果需要输出具体的涂染顺序（是先涂行还是列），可以增加逻辑判断。例如：

   • 当行数较小时，优先涂染行；
   • 当列数较小时，优先涂染列。

3. 应用场景 这种问题可以扩展到实际场景，例如：

   • 涂染地图上的特定区域；
   • 优化资源分配，最小化成本。

总结

这道题主要考察以下能力：

1. 矩阵遍历能力：如何快速遍历二维数组并提取关键信息；
2. 集合操作的应用：利用集合快速统计数据并去重；
3. 优化选择策略：根据问题需求选择较优解法。

本题的核心在于数学上的最小集合覆盖问题，而通过 Python 的简单实现，我们可以快速得到正确结果。希望本文章对你理解类似问题有所帮助！

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