小波变换是一种多分辨率分析工具，能够同时在时域和频域提供信号的局部特征信息，广泛应用于图像去噪、压缩、增强和特征提取等领域。本文将系统解析 一维及二维小波变换的数学原理，结合MATLAB代码实战。
目录
1. 小波变换基础
1.1 小波变换 vs. 傅里叶变换
- 傅里叶变换：全局频率分析，无法定位时间/空间信息。
- 小波变换：通过母小波的缩放和平移，实现局部时频分析。
- 核心优势：
- 多分辨率特性：可聚焦到信号的任意细节
- 稀疏表示：用少量系数描述信号关键特征
1.2 小波函数与尺度函数
- 母小波（Wavelet）：满足零均值条件的振荡函数（如Haar、Daubechies、Symlet等）。
- 尺度函数（Scaling）：用于生成信号的低频逼近分量。
1.3 二维小波变换流程（图像处理）
- 分解（Decomposition）：对图像的行和列分别进行高通和低通滤波，生成四个子图：
- LL：低频逼近（Approximation）
- LH：水平细节（Horizontal Detail）
- HL：垂直细节（Vertical Detail）
- HH：对角线细节（Diagonal Detail）
- 重构（Reconstruction）：通过逆变换恢复原始图像。
2. MATLAB小波变换实现
2.1 单层小波分解与重构
% 读取图像并转为灰度
img = im2double(rgb2gray(imread('刘亦菲.jpg')));
% 单层小波分解（使用Daubechies 4小波）
[cA, cH, cV, cD] = dwt2(img, 'db4');
% 显示分解结果
figure;
subplot(221), imshow(cA, []), title('低频逼近LL');
subplot(222), imshow(cH, []), title('水平细节LH');
subplot(223), imshow(cV, []), title('垂直细节HL');
subplot(224), imshow(cD, []), title('对角线细节HH');
% 单层重构验证
reconstructed = idwt2(cA, cH, cV, cD, 'db4');
mse = sum((img - reconstructed).^2, 'all') / numel(img);
disp(['重构误差MSE：', num2str(mse)]);
2.2 多层小波分解（多分辨率分析）
% 3层小波分解（使用Symlet 5小波）
[C, S] = wavedec2(img, 3, 'sym5');
% 提取各层系数
level3 = appcoef2(C, S, 'sym5', 3); % 第3层低频
[level3H, level3V, level3D] = detcoef2('all', C, S, 3); % 第3层细节
% 可视化多层分解
figure;
subplot(1,4,1), imshow(level3, []), title('Layer3 LL');
subplot(1,4,2), imshow(level3H, []), title('Layer3 LH');
subplot(1,4,3), imshow(level3V, []), title('Layer3 HL');
subplot(1,4,4), imshow(level3D, []), title('Layer3 HH');
% ...类似代码显示第2层和第1层细节系数
3. 核心应用场景与代码实战
3.1 图像去噪（阈值法）
% 生成含高斯噪声的图像
noisy_img = imnoise(img, 'gaussian', 0, 0.02);
% 小波去噪步骤
denoised = wdenoise2(noisy_img, 3, 'Wavelet', 'sym6', ...
'DenoisingMethod', 'Bayes', 'ThresholdRule', 'Median');
% 对比PSNR指标
psnr_val = psnr(denoised, img);
figure;
subplot(131), imshow(img), title('原图');
subplot(132), imshow(noisy_img), title('含噪图像');
subplot(133), imshow(denoised), title(['去噪结果 (PSNR=', num2str(psnr_val), 'dB)']);
3.2 图像压缩（系数截断）
% 小波分解后保留重要系数
[C, S] = wavedec2(img, 3, 'bior3.5');
sorted_C = sort(abs(C(:)), 'descend');
% 保留前10%的系数（压缩率90%）
thresh = sorted_C(round(0.1 * length(sorted_C)));
compressed_C = C .* (abs(C) >= thresh);
% 重构压缩图像
compressed_img = waverec2(compressed_C, S, 'bior3.5');
% 计算压缩率和PSNR
compression_ratio = 100 * (1 - nnz(compressed_C)/numel(C));
psnr_comp = psnr(compressed_img, img);
disp(['压缩率：', num2str(compression_ratio), '%, PSNR：', num2str(psnr_comp)]);
3.3 边缘检测（细节系数增强）
% 增强高频细节系数
[C, S] = wavedec2(img, 2, 'haar');
C_enhenced = C;
C_enhenced(S(1,1)*S(1,2)+1:end) = C_enhenced(S(1,1)*S(1,2)+1:end) * 3; % 增强细节
% 重构边缘增强图像
edge_enhanced = waverec2(C_enhenced, S, 'haar');
figure;
imshowpair(img, edge_enhanced, 'montage');
title('原图（左） vs. 小波边缘增强（右）');
4. 小波基选择与参数优化
4.1 常用小波基特性对比
| 小波族 | 正交性 | 对称性 | 适用场景 |
|---|---|---|---|
| Haar | 是 | 是 | 快速计算，边缘检测 |
| Daubechies | 是 | 否 | 通用信号处理 |
| Biorthogonal | 否 | 是 | 图像压缩（JPEG2000） |
| Symlet | 是 | 近似 | 特征提取 |
4.2 参数选择原则
- 分解层数：通常3~5层，层数越多低频信息越粗糙
- 阈值策略：
- 硬阈值：绝对值小于阈值的系数置零（保边缘）
- 软阈值：系数向零收缩（平滑过渡）
- 边界处理：周期扩展（’per’）或对称扩展（’sym’）减少边界效应
5. 常见问题与解决方案
Q1：小波分解后图像出现伪影
- 原因：边界处理不当或小波基不匹配
- 解决：改用对称小波（如Symlet）或调整边界扩展模式
% 指定边界对称扩展 [C, S] = wavedec2(img, 3, 'sym5', 'mode', 'sym');
Q2：小波去噪导致细节丢失
- 优化策略：
- 分层阈值：对不同尺度系数设置不同阈值
- 结合形态学处理：对高频系数进行形态学平滑
denoised = wdenoise2(noisy_img, 3, 'ThresholdRule', 'SQTWOLOG', 'NoiseEstimate', 'LevelDependent'); - 分层阈值：对不同尺度系数设置不同阈值
Q3：如何选择最优小波基？
- 实验方法：计算不同小波的重构误差和稀疏性
wavelist = {'haar', 'db4', 'sym5', 'bior3.5'};
for w = 1:length(wavelist)
[C, S] = wavedec2(img, 3, wavelist{w});
reconstructed = waverec2(C, S, wavelist{w});
mse(w) = immse(img, reconstructed);
sparsity(w) = nnz(C)/numel(C);
end总结
小波变换为图像处理提供了多尺度分析框架，关键在于：
- 小波基与分解层数的合理选择
- 阈值策略的针对性设计
- 与传统方法/深度学习的融合