三维变换矩阵深度理解之变换矩阵分解

概述

三维变换矩阵在几何核心库、渲染引擎、游戏开发等多个方面都有广泛的应用。在实际应用中，我们有时候需要单独使用三维变化的平移、旋转或缩放解决业务问题。本文将详细讲解将三维变换矩阵拆分为平移、旋转、缩放的分解算法，同时也作为对前一篇文章的理解加强。

了解了原理，一定会发现这个看似麻烦的问题解决起来非常简单。作者的写作目标就是把复杂抽象的数学问题和实际工作相结合，通俗易懂的介绍给大家。

如果没有读过前一篇文章的建议先读一下，链接如下

       一文彻底弄懂三维变换矩阵

本文以后用“上篇文章”代替该文章。

用平移、旋转、缩放表示原矩阵

假设我们要分解的三维变化矩阵如下

$$M=\left[\begin{array}{cccc}{a}_{00}& a_{01}& a_{02}& a_{03}\\ a_{10}& a_{11}& a_{12}& a_{13}\\ a_{20}& a_{21}& a_{22}& a_{23}\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right](公式1)$$

利用上篇文章介绍的公式

$$P^{{}^{\prime }}=(P_x\cdot s_x\cdot e0,P_y\cdot s_y\cdot e1,P_z\cdot s_z\cdot e2)+P_T$$

我们可以将M表示成如下形式

$$M=\left[\begin{array}{cccc}{s}_x\cdot e0& s_y\cdot e1& s_z\cdot e2& P_T\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right](公式2)$$

计算平移向量

平移向量是最好计算的，对比公式1和公式2可知，平移向量

$$P_T=\left[\begin{array}{c}{a}_{03}\\ a_{13}\\ a_{23}\end{array}\right]$$

计算缩放向量的绝对值

根据上篇文章，我们知道旋转矩阵的e0、e1和e2是单位向量，基于这个特性，我们可以计算缩放系数的绝对值

$$\begin{gathered} |s_x|=|s_x|\cdot |e0|=|s_x\cdot e0|=\sqrt{a_{00}^2+a_{10}^2+a_{20}^2} \\ |s_y|=|s_y|\cdot |e1|=|s_y\cdot e1|=\sqrt{a_{01}^2+a_{11}^2+a_{21}^2} \\ |s_z|=|s_z|\cdot |e2|=|s_z\cdot e2|=\sqrt{a_{02}^2+a_{12}^2+a_{22}^2} \end{gathered}$$

计算旋转矩阵和缩放系数的符号

理论上，这个问题存在多组解，例如做一个旋转，和镜像两次之后做旋转，能得到同样的变换结果。实际应用中，我们一般情况下只需找到一组结果即可（其他结果，可以参考同样的方法找到）。

我们先假设不存在镜像，也就是假设三个维度的缩放系数都为正，即

$$\begin{gathered} s_x=\sqrt{a_{00}^2+a_{10}^2+a_{20}^2} \\ {s}_y=\sqrt{a_{01}^2+a_{11}^2+a_{21}^2} \\ {s}_z=\sqrt{a_{02}^2+a_{12}^2+a_{22}^2} \end{gathered}$$

那么

$$\begin{gathered} e0=\left[\begin{array}{c}\frac{a_{00}}{s_x}\\ \frac{a_{10}}{s_x}\\ \frac{a_{20}}{s_x}\end{array}\right] \\ e1=\left[\begin{array}{c}\frac{a_{01}}{s_y}\\ \frac{a_{11}}{s_y}\\ \frac{a_{21}}{s_y}\end{array}\right] \\ e2=\left[\begin{array}{c}\frac{a_{02}}{s_z}\\ \frac{a_{12}}{s_z}\\ \frac{a_{22}}{s_z}\end{array}\right] \end{gathered}$$

根据上篇文章的讲解，我们知道e0、e1和e2是正交坐标系的三个轴，根据坐标系轴的正交特性可知，如果

$$(e0\times e1)\cdot e2<0$$

说明有一个坐标轴需要反向，即存在镜像。

假设将x轴反向，则

$$\begin{gathered} s_x=-s_x \\ e0=-e0 \end{gathered}$$

到这里，我们就得到了缩放系数

$$\left[\begin{array}{c}{s}_x\\ s_y\\ s_z\end{array}\right]$$

旋转矩阵

$$\left[\begin{array}{ccc}e0& e1& e2\end{array}\right]$$

还是那句话，真正理解了原理，真的很简单。祝大家打好基础，技术突飞猛进。