在四边形 A B C D ABCD ABCD 中, A B = A D AB = AD AB=AD, B C ⊥ A B BC \perp AB BC⊥AB, ∠ D C B \angle DCB ∠DCB 的平分线与 A B AB AB 交于 E E E, 过点 A A A 且垂直于 C D CD CD 的直线与 D E DE DE 交于 F F F, M M M 是 B D BD BD 的中点. 求证: F M ∥ E C FM \parallel EC FM∥EC.
(《高中数学联赛模拟试题精选》第17套)
证明:
延长 M A MA MA 交 ( B D C ) (BDC) (BDC) 于点 N N N, 设 N N N 在 A B AB AB 上的投影为点 P P P, 以 A A A 为圆心, A P AP AP 为半径作圆, 交 M P MP MP 于点 P P P, F ′ F' F′.
由 D E DE DE 平分 ∠ B D C \angle BDC ∠BDC 可知 E D ED ED 经过点 N N N.
由 A B = A C AB=AC AB=AC, M M M 是 B C BC BC 的中点可知 ∠ B M A = π 2 = ∠ N P B \angle BMA=\frac{\pi}{2}=\angle NPB ∠BMA=2π=∠NPB, 由此可知 N N N, P P P, M M M, B B B 四点共圆.
∠ A E N = π 2 − ∠ B D E = 1 2 ( π − ∠ B D C ) = ∠ B N A \angle AEN=\frac{\pi}{2}-\angle BDE=\frac{1}{2}(\pi-\angle BDC)=\angle BNA ∠AEN=2π−∠BDE=21(π−∠BDC)=∠BNA, 所以 △ A E N ∼ △ A N B \triangle AEN \sim \triangle ANB △AEN∼△ANB.
∠ A F ′ P = ∠ A P F = ∠ A N B = ∠ A E N \angle AF'P=\angle APF=\angle ANB=\angle AEN ∠AF′P=∠APF=∠ANB=∠AEN. 由此可知 E N / / P M EN//PM EN//PM.
下面证明: F ′ F' F′ 即为 F F F. 这只需证明: A F ⊥ D C AF\bot DC AF⊥DC 且 E E E, F ′ F' F′, C C C 共线.
∠ F ′ A M = ∠ A F ′ P − ∠ P M A = ∠ A E N − ∠ P B N = ∠ E N B = ∠ B C D \angle F'AM=\angle AF'P-\angle PMA=\angle AEN-\angle PBN=\angle ENB=\angle BCD ∠F′AM=∠AF′P−∠PMA=∠AEN−∠PBN=∠ENB=∠BCD. 结合 A M ⊥ B C AM\bot BC AM⊥BC 可知 A F ′ ⊥ D C AF' \bot DC AF′⊥DC.
E N / B N = A E / A N = A P / A M = A F ′ / A M EN/BN=AE/AN=AP/AM=AF'/AM EN/BN=AE/AN=AP/AM=AF′/AM, 结合 ∠ F ′ A M = ∠ E N B \angle F'AM=\angle ENB ∠F′AM=∠ENB 可知 △ E N B ∼ △ F ′ A M \triangle ENB \sim \triangle F'AM △ENB∼△F′AM.
由梅涅劳斯定理, 证明 E E E, F ′ F' F′, C C C 共线只需证明: P E E B B C C M M F ′ F ′ P = 1 \frac{PE}{EB}\frac{BC}{CM}\frac{MF'}{F'P}=1 EBPECMBCF′PMF′=1.
P E E B M F ′ F ′ P = P E F ′ P M F ′ E B = P E F ′ P A F ′ E N = P E E N A F ′ F ′ P = cos ∠ P E N 1 2 cos ∠ A F ′ P = 1 2 \frac{PE}{EB}\frac{MF'}{F'P}=\frac{PE}{F'P}\frac{MF'}{EB}=\frac{PE}{F'P}\frac{AF'}{EN}=\frac{PE}{EN}\frac{AF'}{F'P}=\cos \angle PEN \frac{1}{2\cos \angle AF'P}=\frac{1}{2} EBPEF′PMF′=F′PPEEBMF′=F′PPEENAF′=ENPEF′PAF′=cos∠PEN2cos∠AF′P1=21.
B C C M = 2 \frac{BC}{CM} = 2 CMBC=2.
所以 P E E B B C C M M F ′ F ′ P = 1 \frac{PE}{EB}\frac{BC}{CM}\frac{MF'}{F'P}=1 EBPECMBCF′PMF′=1.
综上, F ′ F' F′ 即为点 F F F.
证毕.