BRDF（Bidirectional Reflectance Distribution Function），它定义了从某个入射方向来的光线在特定出射方向上的反射比例。简单来说，就是当光线从一个方向打到物体表面，它会以怎样的方式反射到另一个方向。
一、菲涅尔效应的电磁学基础
1.1 麦克斯韦边界条件
当平面电磁波到达介质界面时，反射率由菲涅尔方程决定。对于非偏振光的简化形式为：
F ( θ i ) = 1 2 ( n 2 cos θ i − n 1 cos θ t n 2 cos θ i + n 1 cos θ t ) 2 + 1 2 ( n 1 cos θ t − n 2 cos θ i n 1 cos θ t + n 2 cos θ i ) 2 F(\theta_i) = \frac{1}{2} \left( \frac{n_2 \cos\theta_i - n_1 \cos\theta_t}{n_2 \cos\theta_i + n_1 \cos\theta_t} \right)^2 + \frac{1}{2} \left( \frac{n_1 \cos\theta_t - n_2 \cos\theta_i}{n_1 \cos\theta_t + n_2 \cos\theta_i} \right)^2 F(θi)=21(n2cosθi+n1cosθtn2cosθi−n1cosθt)2+21(n1cosθt+n2cosθin1cosθt−n2cosθi)2
其中折射角 θ t \theta_t θt 由斯涅尔定律约束： n 1 sin θ i = n 2 sin θ t n_1 \sin\theta_i = n_2 \sin\theta_t n1sinθi=n2sinθt
1.2 Schlick近似原理
通过观察 F ( θ ) F(\theta) F(θ) 曲线呈现的类指数增长特性，采用五次多项式拟合镜面反射率：
F ( θ ) ≈ F 0 + ( 1 − F 0 ) ( 1 − cos θ ) 5 F(\theta) \approx F_0 + (1-F_0)(1 - \cos\theta)^5 F(θ)≈F0+(1−F0)(1−cosθ)5
其中 F 0 F_0 F0 表示法线入射时的反射率（ θ = 0 \theta=0 θ=0）。对于金属材质， F 0 F_0 F0 与复折射率 η \eta η、 k k k 的关系为：
F 0 = ( ( η − 1 ) 2 + k 2 ( η + 1 ) 2 + k 2 ) F_0 = \left( \frac{(\eta-1)^2 + k^2}{(\eta+1)^2 + k^2} \right) F0=((η+1)2+k2(η−1)2+k2)
二、法线分布函数的概率解释
2.1 微表面统计模型
设宏观表面面积 A A A，微表面总投影面积满足：
∫ Ω D ( ω h ) cos θ h d ω h = 1 \int_{\Omega} D(\omega_h) \cos\theta_h \, d\omega_h = 1 ∫ΩD(ωh)cosθhdωh=1
其中 D ( ω h ) D(\omega_h)