二元随机响应（Binary Randomized Response, RR）的翻转概率

随机响应（Randomized Response）机制

✅ 回答核心：

$$\boxed{p=\frac{1}{1+e^{\epsilon }}}\text{才是「翻转概率」}$$

而：
$$\boxed{q=\frac{e^{\epsilon }}{1+e^{\epsilon }}}\text{是「保留真实值」的概率}$$

✅ 为什么 p 才是翻转概率？

随机响应机制：用于二元隐私（0 或 1）

给定真实值 x ∈ {0,1}，你不直接返回 x，而是使用以下方式：

• 以概率 $q=\frac{e^{\epsilon }}{1+e^{\epsilon }}$ 保留 x
• 以概率 $p=\frac{1}{1+e^{\epsilon }}$ 返回 1 - x（翻转）

公式来源（源自 Local Differential Privacy 的 Binary Randomized Response）：

这满足 ε-LDP 要求的最小扰动机制。

✅ 举个例子：

假设真实值为 1，ε = 1：

• $q=\frac{e^1}{1+e^1}\approx 0.731$ → 有 73.1% 概率返回 1（保留真实值）
• $p=\frac{1}{1+e^1}\approx 0.269$ → 有 26.9% 概率返回 0（翻转）

所以 p 是翻转概率，你撒谎的概率！

✅ 总结对比：

✅ 一句话总结：

p = 1 / (1 + exp(ε)) 是你翻转真实值（加噪声）的概率 —— 所以它才叫 翻转概率。

🧠 代码1：

def matrix_randomized_response(x, eps):
    x = x.to(torch.bool)
    em = math.exp(eps)
    flip_prob = 1.0 / (em + 1)  # 翻转概率
    p = torch.full_like(x, 1 - flip_prob, dtype=torch.float32)  # 保留概率
    keep_mask = torch.bernoulli(p).to(torch.bool)
    x_noised = (~(x ^ keep_mask)).to(torch.float)
    return x_noised

我们来逐行详细解读这段 matrix_randomized_response 函数，重点也会解释提到的核心扰动表达式：

✅ 目标：

这个函数实现 Binary Randomized Response (BRR)：对布尔矩阵 x 进行局部差分隐私（LDP）扰动，即：

对于每个元素：
以概率 $\frac{e^{\epsilon }}{1+e^{\epsilon }}$ 保留原值，
以概率 $\frac{1}{1+e^{\epsilon }}$ 翻转（扰动）它

🔍 逐行解释：

①

x = x.to(torch.bool)

• 把输入 x 强制转为布尔型（0/1）
• 假设原始 x 是邻接矩阵或 one-hot 标签

②

em = math.exp(eps)
flip_prob = 1.0 / (em + 1)

• 计算 $e^{\epsilon }$，这是 LDP 中用于设定隐私保护强度的值
• 计算翻转概率：
  $$\text{flip\_prob}=\frac{1}{1+e^{\epsilon }}$$

③

p = torch.full_like(x, 1 - flip_prob, dtype=torch.float32)

• 构造与 x 同形状的张量，每个值为「保留原值的概率」：
  $$1-\text{flip\_prob}=\frac{e^{\epsilon }}{1+e^{\epsilon }}$$

④

keep_mask = torch.bernoulli(p).to(torch.bool)

• 对 p 进行伯努利采样，得到一个布尔掩码：

  • True 表示保留原值
  • False 表示需要翻转

⑤

✅ 🔍 解读核心扰动表达式：

x_noised = (~(x ^ keep_mask)).to(torch.float)

这行做的是：

✴️ 布尔异或（XOR）：

• x ^ keep_mask：

  • 若 keep_mask=True（保留）：x ^ True = not x ❌
  • 若 keep_mask=False（翻转）：x ^ False = x ❌
    所以直接 x ^ keep_mask 会反了！

✴️ 再加一个 ~（取反）修正逻辑：

• ~(x ^ keep_mask) 恰好实现：

✅ .to(torch.float)：

• 最后把布尔张量转为浮点数张量（0.0 / 1.0），用于模型继续计算

✅ 最终效果：

这段代码实现的是对二值矩阵 x 中的每个值：

• 以概率 $\frac{e^{\epsilon }}{1+e^{\epsilon }}$ 保留
• 以概率 $\frac{1}{1+e^{\epsilon }}$ 翻转（扰动）

这是 Binary Randomized Response 的标准实现，适用于差分隐私保护场景。

🧠 代码2：

def rr_adj():
     p = 1.0/(1.0+math.exp(self.eps_a))
     res = ((adj + torch.bernoulli(torch.full((n, n), p)).to(device)) % 2).float()
     res.fill_diagonal_(0)
     return res

🔧 函数定义：

① 计算扰动概率：

p = 1.0 / (1.0 + math.exp(self.eps_a))

• self.eps_a 是图结构扰动的隐私预算（epsilon）
• 公式来自 Binary Randomized Response
• $p=\frac{1}{1+e^{\epsilon }}$ 是“翻转边”的概率（即扰动概率）

② 生成随机掩码并执行扰动：

res = ((adj + torch.bernoulli(torch.full((n, n), p)).to(device)) % 2).float()

• torch.full((n, n), p)：创建一个全为 p 的二维张量，大小为 $n\times n$，和邻接矩阵 adj 一样大

• torch.bernoulli(...)：对每个元素独立进行伯努利采样（值为 1 的概率为 p，表示翻转）

• adj + ...：相当于原始邻接矩阵加上“翻转掩码”

• % 2：实现XOR（异或），即：

  • 0 + 1 = 1 （加边）
  • 1 + 1 = 0 （删边）
  • 0 + 0 = 0 （保持原样）

• .float()：把最终的布尔（0/1）结果转成浮点张量

🔁 最终效果：以概率 p 对每个边进行是否存在的翻转

③ 去除对角线（防止自环）：

res.fill_diagonal_(0)

• 强制将所有的对角线元素（即 self-loop）设为 0，防止扰动产生自环

✅ 总结一下逻辑：

这个函数 rr_adj() 实现的是：

对输入图的邻接矩阵 adj：

• 对每一条边（包括 0）以概率 $\frac{1}{1+e^{\epsilon }}$ 进行翻转（1→0，0→1）
• 对角线（self-loops）始终设为 0

📌 关键点理解：

在这个上下文中：% 2 确实等价于 XOR（异或）操作，当我们处理的是布尔值或 0/1 值的张量时。

✅ 举个例子来说明：

设有两个值 a 和 b，都在 {0, 1} 之间（也就是二值）：

✅ 在 PyTorch 中：

• a ^ b 是布尔类型的异或（必须是 bool）
• (a + b) % 2 是数值类型的异或等价操作（适用于 int/float 形式）

✅ 总结：

✅ 一句话评价：

• ✅ matrix_randomized_response() 更通用、更清晰、语义更明确。
• ⚠️ rr_adj() 更简洁，但逻辑上容易误解，并且不适合复用到非邻接矩阵。

🔍 逐点比较：