初等数论--欧拉函数及其性质

1. 定义

$\varphi (n)$在数论中代表欧拉函数，

它的值为小于等于$n$且与$n$互质的正整数的个数。

2. 性质

• 若$p$为质数，则$\varphi (p)=p-1$;

除了自身以外全都互质。

• 若$p$为质数，则$\varphi (p^k)=p^k-p^{k-1}$

与$p^k$不互质的一定是$p$的倍数，即$p,2p,3p,\cdots ,p^{k-1}p$, 一共$p^{k-1}$个数，因此剩下的就是与$p^k$互质的，因此$\varphi (p^k)=p^k-p^{k-1}$

• 欧拉函数定义式：$\varphi (n)=n{\Pi }_{i=1}^m(1-\frac{1}{p_i})$

这条性质可以由算术基本定理和容斥原理证明，具体证明可以看欧拉函数积性证明。

• 欧拉函数积性：$\gcd (a,b)=1\Rightarrow \varphi (ab)=\varphi (a)\varphi (b)$

同样可以看上面提到的文章中的证明。

• 若$a$为质数且$a\mid b$，则$\varphi (ab)=a\varphi (b)$

我们假设$b=a^{k}m$, 那么$\varphi (b)=\varphi (a^{k}m)$;

显然$\gcd (a^k,m)=1$，那么根据积性性质可得$\varphi (b)=\varphi (a^{k}m)=\varphi (a^k)\varphi (m)$。

再根据上面的性质$\varphi (a^k)=a^k-a^{k-1}$。

同理$\varphi (ab)=\varphi (a^{k+1}m)=\varphi (a^{k+1})\varphi (m)=(a^{k+1}-a^k)\varphi (m)$

$a\varphi (b)=a(a^k-a^{k-1})\varphi (m)=(a^{k+1}-a^k)\varphi (m)$。

因此$a\varphi (b)=\varphi (ab)$

• 因数的欧拉函数和等于$n$: ${\sum }_{d|n}\varphi (\frac{n}{d})={\sum }_{d|n}\varphi (d)=n$

这个性质的证明不太好想，抄下来算了。

我们令全集 S n : = { 1 , 2 , ⋯   , n } S_n := \{ 1,2,\cdots,n\} Sn​:={1,2,⋯,n}

我们可以对这个集合根据与$n$的最大公因数作划分

定义 A d : = { x ∣ gcd ⁡ ( x , n ) = d , x ∈ S n } A_d := \{ x| \gcd(x,n)=d, x \in S_n\} Ad​:={x∣gcd(x,n)=d,x∈Sn​}

由于$\gcd (x,n)=d$，我们同时除一个$d$得到$\gcd (\frac{x}{d},\frac{n}{d})=1$。

因此$|A_d|=\varphi (\frac{n}{d})$, 这一步是关键就是构建互质转换为欧拉函数。

将所有的最大公因数划分全部加起来

$$\sum _{d|n}|A_d|=\sum _{d|n}\varphi (\frac{n}{d})=|S_n|=n$$
根据因子的对称性，显然
$$\sum _{d|n}\varphi (\frac{n}{d})=\sum _{d|n}\varphi (d)=n$$

$Q.E.D$

参考

豆包ai